6.7 模拟乘法器及其应用 · 《电子电路基础（第2版）》

模拟乘法器是实现两个模拟量相乘的非线性电子器件，利用模拟乘法器以及运放可以方便地实现乘法、除法、乘方、开方运算等电路。模拟乘法器广泛地应用于广播电视、通信、仪表和自动控制系统之中，例如，进行模拟信号的处理、调制解调等。所以模拟乘法器是模拟集成电路中的一个重要部分。

6.7.1 模拟乘法器简介

模拟乘法器有两个输入端，一个输出端。图 6.7.1 所示是模拟乘法器的符号。

模拟乘法器的输入信号为两个互不相关的模拟物理量，输出电压是它们的乘积，即

v _ {\mathrm{O}} = k v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}}\tag{6.7.1}

式中， $k$ 是乘积系数，也称乘积增益或标尺因子。

理想模拟乘法器至少应具备如下条件：

图 6.7.1 模拟乘法器的符号

(1) 输入端的输入阻抗 $R_{ix}, R_{iy}$ 为无穷大；

(2) 输出阻抗 $R_{0}$ 为零；

（3）乘积系数 $k$ 为常数，不随信号幅值、信号频率而变化；

（4）当 $v_{x}$ 或 $v_{y}$ 为零时 $v_{0}$ 为零，电路没有失调电压、失调电流。

图 6.7.2 所示为模拟乘法器的等效电路。在等效电路中考虑了输入电阻和输出电阻。在本小节中，除特殊说明，一般在分析电路功能时，模拟乘法器均看成理想器件。

由于输入信号的极性可正可负，因此输入信号 $v_{x}$ 和 $v_{y}$ 的极性有 4 种组合，对应 4 个象限，如图 6.7.3 所示。按照允许输入信号的极性，模拟乘法器有单象限、二象限和四象限之分。

6.7.2 变跨导型模拟乘法器的工作原理

变跨导型模拟乘法器利用输入电压控制差放差分管的发射极电路，使之跨导作相应的变化，从而达到与输入差模信号相乘的目的。

一、变跨导二象限乘法器

差分放大电路的差模传输特性在第二章介绍差放时已经介绍过，电路如图 6.7.4所示。

在差模信号作用下，输出电流与输入电压的函数关系为

i _ {\mathrm{O}} = i _ {\mathrm{C1}} - i _ {\mathrm{C2}} = I _ {\mathrm{EE}} \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.2}

输出电压与输入电压的函数关系为

v _ {\mathrm{O}} = R _ {\mathrm{C}} I _ {\mathrm{EE}} \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.3}

对于双曲函数 $\operatorname{th} x$ ，当 $x$ 很小时 $\operatorname{th} x \approx x$ 。也就是当式 (6.7.3) 中 $v_x \ll 2V_T$ 时，表达式可写成

v _ {\mathrm{O}} = R _ {\mathrm{C}} I _ {\mathrm{EE}} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}

(6.7.4)

将图 6.7.4 中的恒流源用一晶体管替代，得到图 6.7.5, 根据图示电路可以得到

i _ {\mathrm{C3}} = I _ {\mathrm{EE}} = \frac {v _ {\mathrm{y}} - v _ {\mathrm{BE3}}}{R _ {\mathrm{E}}}\tag{6.7.5}

当 $v_{y} \gg v_{BE3}$ 时，有

i _ {\mathrm{C3}} = I _ {\mathrm{EE}} \approx \frac {v _ {\mathrm{y}}}{R _ {\mathrm{E}}}\tag{6.7.6}

将该式代入 $v_{0}=R_{c}I_{EE}\frac{v_{x}}{2V_{T}}$ ，有

v _ {\mathrm{O}} \approx R _ {\mathrm{C}} \frac {v _ {\mathrm{y}}}{R _ {\mathrm{E}}} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}} = \frac {R _ {\mathrm{C}}}{2 V _ {T} R _ {\mathrm{E}}} v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}} = k v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}}\tag{6.7.7}

式中， $v_{x}$ 可正可负，但 $v_{y}$ 必须大于零，所以图 6.7.5 所示电路为二象限模拟乘法器。该电路有如下缺点：

(1) $v_{x}$ 的值必须小于 $2V_{T}$ ;

(2) $v_{y}$ 的值越小，运算误差越大;

图 6.7.5 变跨导二象限乘法器

(3) $v_{0}$ 与 $V_{T}$ 有关，即受温度变化的影响;

(4) 电路只能工作在二象限。

二、双平衡四象限变跨导乘法器

双平衡四象限变跨导乘法器如图 6.7.6 所示。

根据差分放大电路及变跨导二象限乘法器推导得到的结论，可以得到

i _ {1} - i _ {2} = i _ {5} \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.8}

i _ {4} - i _ {3} = i _ {6} \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.9}

i _ {5} - i _ {6} = I \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{y}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.10}

所以有

i _ {0 1} - i _ {0 2} = \left(i _ {1} + i _ {3}\right) - \left(i _ {4} + i _ {2}\right) = \left(i _ {1} - i _ {2}\right) - \left(i _ {4} - i _ {3}\right)\tag{6.7.11}

i _ {0 1} - i _ {0 2} = (i _ {5} - i _ {6}) \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}} = I \cdot \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{y}}}{2 V _ {T}} \cdot \mathrm{th} \frac {v _ {\mathrm{x}}}{2 V _ {T}}\tag{6.7.12}

当 $v_{x} \ll 2V_{T}$ ，同时 $v_{y} \ll 2V_{T}$ 时，有

i _ {\mathrm{O1}} - i _ {\mathrm{O2}} \approx \frac {1}{4 V _ {T} ^ {2}} v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}}\tag{6.7.13}

输出电压为

v _ {\mathrm{0}} = - \left(i _ {\mathrm{01}} - i _ {\mathrm{02}}\right) R _ {\mathrm{C}} \approx - \frac {I R _ {\mathrm{C}}}{4 V _ {T} ^ {2}} v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}} = k v _ {\mathrm{x}} v _ {\mathrm{y}}\tag{6.7.14}

图 6.7.6 所示电路的输出信号为双端输出，可使用图 6.7.7 所示电路将图 6.7.6 的双

端输出变换为单端输出，乘法器的乘积系数 $k$ 值可通过 $R_{F}$ 进行调节。

图 6.7.6 所示双平衡四象限变跨导乘法器电路的输入信号的最大值受到限制 ( $v_{x} \ll 2V_{T}, v_{y} \ll 2V_{T}$ )，可以通过在发射极串入电阻增大输入电压的范围，虽然乘积系数会变小，但可以通过调整双端到单端变换电路的增益来解决。

6.7.3 模拟乘法器的应用

一、乘方运算电路

利用四象限模拟乘法器能够非常方便地实现平方、3次方、4次方运算电路，分别如图 6.7.8( $a$ )、( $b$ )、( $c$ )所示。

图 6.7.8( $a$ )中

图 6.7.8( $b$ ) 中

图 6.7.8( $c$ )中

\begin{array}{r} v _ {\mathrm{O}} = k v _ {\mathrm{I}} ^ {2} \\ v _ {\mathrm{O1}} = k ^ {\prime} v _ {\mathrm{I}} ^ {3} \\ v _ {\mathrm{O2}} = k ^ {\prime \prime} v _ {\mathrm{I}} ^ {4} \end{array}

二、除法运算电路

将模拟乘法器连接在集成运放的反馈通路中，可构成除法运算电路，如图 6.7.9所示。

在运算电路中，必须保证电路引入的是负反馈，才能正常工作，即 $v_{0}$ 与 $v_{0}^{\prime}$ 必须是同相的。因而要求，当模拟乘法器的 $k$ 为正值时， $v_{12}$ 必须为正值。这样电路引入的才是负反馈。电路分析如下:

设集成运放和模拟乘法器均为理想器件，运放反相输入端为“虚地”,有

\frac {v _ {\mathrm{I1}}}{R _ {1}} = - \frac {v _ {\mathrm{O}} ^ {\prime}}{R _ {2}} = - \frac {k v _ {\mathrm{I2}} v _ {\mathrm{O}}}{R _ {2}}

(6.7.15)

整理上式，得到输出电压

v _ {0} = - \frac {R _ {2}}{k R _ {1}} \cdot \frac {v _ {1 1}}{v _ {1 2}}\tag{6.7.16}

由于 $v_{12}$ 的极性受限制，所以图 6.7.9 所示电路为二象限除法运算电路。

三、开方运算电路

1. 平方根运算电路

利用乘方运算电路作为集成运放的反馈通路，就可构成开方运算电路。平方根运算电路如图 6.7.10所示。

先设电路引入的是负反馈，运放工作于线性区，则运放反相输入端为“虚地”,有

\frac {v _ {\mathrm{O}} ^ {\prime}}{R _ {2}} = - \frac {v _ {\mathrm{I}}}{R _ {1}}

v _ {\mathrm{O}} ^ {\prime} = - \frac {R _ {2}}{R _ {1}} v _ {\mathrm{I}} = k v _ {\mathrm{O}} ^ {2}\tag{6.7.17}

(6.7.18)

图 6.7.10 平方根运算电路

所以

v _ {0} = \sqrt {- \frac {R _ {2}}{k R _ {1}} v _ {1}}

(k \text {为正值}, v _ {1} < 0)\tag{6.7.19}

由于 $v_{0}$ 为大于零的值，所以 $v_{1}$ 必须小于零，且根号下的值必须为正，所以要求 $k$ 值为正。

2. 立方根运算电路

将3次方电路作为集成运放的反馈通路，可实现立方根运算电路，如图 6.7.11所示。图中使用两级模拟乘法器，所以 $k^2$ 大于零，且 $v_{0}$ 与 $v_{0}^{\prime}$ 同相，所以反馈电路对于运放来说引入的是负反馈。运放工作于线性区，则运放反相输入端为“虚地”，有

\frac {v _ {\mathrm{O}} ^ {\prime}}{R _ {2}} = - \frac {v _ {\mathrm{I}}}{R _ {1}}\tag{6.7.20}

v _ {\mathrm{O}} ^ {\prime} = - \frac {R _ {2}}{R _ {1}} v _ {\mathrm{I}} = k ^ {2} v _ {\mathrm{O}} ^ {3}\tag{6.7.21}

所以

v _ {0} = \sqrt [ 3 ]{- \frac {R _ {2}}{k ^ {2} R _ {1}} v _ {1}}\tag{6.7.22}

例 6.7.1

某运算电路如图 6.7.12 所示，运放及乘法器均可看成理想器件，乘法器的乘积系数为 0.1。求输出与输入间的运算关系。

解

运放 $A_{1}$ 的反相输入端为“虚地”，所以有

\frac {v _ {\mathrm{01}}}{R _ {1}} + \frac {v _ {\mathrm{02}}}{R _ {1}} = - \frac {v _ {\mathrm{03}}}{R _ {2}}\tag{6.7.23}

v _ {\mathrm{01}} = k v _ {\mathrm{II}} ^ {2}\tag{6.7.24}

v _ {\mathrm{O2}} = k v _ {\mathrm{I2}} ^ {2}\tag{6.7.25}

v _ {0 3} = - \frac {R _ {2}}{R _ {1}} (v _ {0 1} + v _ {0 2}) = - k v _ {0} ^ {2}\tag{6.7.26}

根据式 $(6.7.24)$ 、式 $(6.7.25)$ 、式 $(6.7.26)$ 可得

v _ {\mathrm{O}} = \sqrt {\frac {R _ {2}}{k R _ {1}} (v _ {\mathrm{O} 1} + v _ {\mathrm{O} 2})} = \sqrt {\frac {R _ {2}}{k R _ {1}} (k v _ {1 1} ^ {2} + k v _ {1 2} ^ {2})} = \sqrt {\frac {R _ {2}}{R _ {1}} (v _ {1 1} ^ {2} + v _ {1 2} ^ {2})}\tag{6.7.27}

电路的两个输入信号 $v_{11}$ 和 $v_{12}$ 可以是任意极性。图中 $A_{2}$ 接成反相放大是为了保证电路为负反馈。