6.6 集成运算放大器参数对运算误差的影响

6.6.1 实际集成运算放大器的等效模型

任何实际集成运放都是非理想的。要建立一个考虑到所有非理想参数的模型很难，也没有必要。例如，在实际应用中，某些应用需求只对输入电阻或增益要求较高，可以只考虑输入电阻或增益对运算产生的误差即可。闭环反相放大电路是集成运放线性应用的基本形式。对闭环反相放大电路建立等效模型，可以推广到其他电路形式，也适用于多数对误差分析的场合。

图 6.6.1 所示模型为闭环反相放大电路的直流或低频等效模型。

图 6.6.1 闭环反相放大电路的直流或低频等效模型

考虑到差模和共模输入，反相端和同相端分别加信号 $v_{I1}$ 、 $v_{I2}$ 。 $v_{I1}$ 、 $v_{I2}$ 是直流信号或低频信号(运放参数均为实数)。

模型中因 $R_o$ 一般在几十至几百欧，而共模输入阻抗 $R_{ic}$ 的典型值在 100 MΩ 以上，通常比 $R_{id}$ 大两个数量级以上，故等效模型中可以忽略 $R_o$ 及 $R_{ic}$ 。这样，等效模型中主要考虑实际集成运放的有限增益 $A_{vd}$ 、 $K_{CMR}$ 、 $R_{id}$ 、 $V_{IO}$ 、 $I_{IB}$ 、 $I_{IO}$ 等 6 个误差因素。

模型中

{ l I _ IB = frac 12 (I _ B1 + I _ B2) I _ IO = I _ B1 - I _ B2 . (6.6.1)$$\{\begin{array}{l}{I}_{\mathrm{IB}}=\frac{1}{2}(I_{B1}+I_{B2})\\ I_{\mathrm{IO}}=I_{B1}-I_{B2}\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6.1)}$$

或

{ l I _ B1 = I _ IB + frac 12 I _ IO I _ B2 = I _ IB - frac 12 I _ IO . (6.6.2)$$\{\begin{array}{l}{I}_{B1}=I_{\mathrm{IB}}+\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{IO}}\\ I_{B2}=I_{\mathrm{IB}}-\frac{1}{2}{I}_{\mathrm{IO}}\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6.2)}$$ v _ O = - A _ v d i R _ id - frac A _ v dK _ CMR (frac v _ P + v _ N2) (6.6.3)$$v_{\mathrm{O}}=-A_{v\mathrm{d}}i{R}_{\mathrm{id}}-\frac{A_{v\mathrm{d}}}{K_{\mathrm{CMR}}}\left(\frac{v_{\mathrm{P}}+v_{\mathrm{N}}}{2}\right)\text{\hspace{1em}(6.6.3)}$$

其中

i = frac v _ N - v _ P - V _ IOR _ id (6.6.4)$$i=\frac{v_{\mathrm{N}}-v_{\mathrm{P}}-V_{\mathrm{IO}}}{R_{\mathrm{id}}}\text{\hspace{1em}(6.6.4)}$$

6.6.2 $A_{\mathrm{vd}},R_{\mathrm{id}}$ 为有限值引起闭环增益的误差

如果只考虑 $A_{vd}$ 、 $R_{id}$ 为有限值所引起的闭环增益误差，其模型可简化为如图 6.6.2 所示的电路。

图 6.6.2 AᵥdAvd​ 、 RᵢdRid​ 为有限值时的简化模型

由图 6.6.2可列出如下方程组

{ l v _ P = v _ I2 + (i _ 1 - i _ F) R ^ prime v _ N = v _ II - R _ 1 i _ 1 v _ O = A _ rd (v _ P - v _ N) v _ N - v _ P = (i _ 1 - i _ F) R _ id v _ N - v _ O = i _ F R _ F . (6.6.5)$$\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{P}}=v_{I2}+(i_1-i_{\mathrm{F}})R^{\prime }\\ v_{\mathrm{N}}=v_{\mathrm{II}}-R_1{i}_1\\ v_{\mathrm{O}}=A_{\mathrm{rd}}(v_{\mathrm{P}}-v_{\mathrm{N}})\\ v_{\mathrm{N}}-v_{\mathrm{P}}=(i_1-i_{\mathrm{F}})R_{\mathrm{id}}\\ v_{\mathrm{N}}-v_{\mathrm{O}}=i_{\mathrm{F}}{R}_{\mathrm{F}}\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6.5)}$$

解以上方程组可以得到

v _ O = frac R _ F1 + frac R _ F (R _ 1 ^ prime + R ^ prime + R _ id)A _ v d R _ id R _ 1 ^ prime (frac v _ I2R _ 1 ^ prime - frac v _ IIR _ 1) (6.6.6)$$v_{\mathrm{O}}=\frac{R_{\mathrm{F}}}{1+\frac{R_{\mathrm{F}}(R_1^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})}{A_{v\mathrm{d}}{R}_{\mathrm{id}}{R}_1^{\prime }}}\left(\frac{v_{I2}}{R_1^{\prime }}-\frac{v_{\mathrm{II}}}{R_1}\right)\text{\hspace{1em}(6.6.6)}$$

式中， $R_1^{\prime }=R_1\parallel R_F$ 。

（1）令 $v_{12}=0$ 就可以得到反相放大电路的输出表达式

v _ O = - frac R _ FR _ l · frac 11 + frac R _ F (R _ l ^ prime + R ^ prime + R _ id)A _ vd R _ id R _ l ^ prime v _ ll (6.6.7)$$v_{\mathrm{O}}=-\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{l}}}\cdot \frac{1}{1+\frac{R_{\mathrm{F}}(R_{\mathrm{l}}^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})}{A_{\mathrm{vd}}{R}_{\mathrm{id}}{R}_{\mathrm{l}}^{\prime }}}{v}_{\mathrm{ll}}\text{\hspace{1em}(6.6.7)}$$

由于 $A_{\mathrm{vd}}{R}_{\mathrm{id}}{R}_1^{\prime }>>R_{\mathrm{F}}(R_1^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})$ ，利用近似公式 $1/(1+x)\approx 1-x$ ，得

A _ v f ≈ - frac R _ FR _ l [ 1 - frac R _ F (R _ l ^ prime + R ^ prime + R _ id)A _ v d R _ id R _ l ^ prime ] (6.6.8)$$A_{v\mathrm{f}}\approx -\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{l}}}\left[1-\frac{R_{\mathrm{F}}(R_{\mathrm{l}}^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})}{A_{v\mathrm{d}}{R}_{\mathrm{id}}{R}_{\mathrm{l}}^{\prime }}\right]\text{\hspace{1em}(6.6.8)}$$

闭环增益的相对误差为

δ = frac A _ v f - A _ v f ^ primeA _ v f ^ prime = - frac R _ F (R _ 1 ^ prime + R ^ prime + R _ id)A _ v d R _ id R _ 1 ^ prime (6.6.9)$$\delta =\frac{A_{vf}-A_{vf}^{\prime }}{A_{vf}^{\prime }}=-\frac{R_{\mathrm{F}}(R_1^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})}{A_{vd}{R}_{\mathrm{id}}{R}_1^{\prime }}\text{\hspace{1em}(6.6.9)}$$

式中， $A_{vf}^{\prime }$ 为运放为理想运放时的反馈增益。

通过表达式可以看出，$A_{vd}$ 、 $R_{id}$ 越大，反馈深度越深，误差越小。

(2) 令 $v_{II}=0$ 就可以得到同相放大电路的输出表达式

v _ 0 = frac R _ FR _ 1 ^ prime [ frac 11 + frac R _ F (R _ 1 ^ prime + R ^ prime + R _ id)A _ vd R _ id R _ 1 ^ prime ] v _ 1 2 (6.6.10)$$v_0=\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_1^{\prime }}\left[\frac{1}{1+\frac{R_{\mathrm{F}}(R_1^{\prime }+R^{\prime }+R_{\mathrm{id}})}{A_{\mathrm{vd}}{R}_{\mathrm{id}}{R}_1^{\prime }}}\right]v_{12}\text{\hspace{1em}(6.6.10)}$$

与反相放大电路的误差相同。

6.6.3 共模抑制比 $K_{\mathrm{CMR}}$ 为有限值引起闭环增益的误差

同相放大电路中存在较大的共模输入分量，因此可以研究同相放大电路在 $K_{CMR}$ 为有限

值时对输出的影响以及所造成的误差。电路如图 6.6.3所示。

v _ O = A _ v d v _ ID + A _ v c v _ IC (6.6.11)$$v_{\mathrm{O}}=A_{v\mathrm{d}}{v}_{\mathrm{ID}}+A_{v\mathrm{c}}{v}_{\mathrm{IC}}\text{\hspace{1em}(6.6.11)}$$

由于差模增益不是无穷大，运放的两个输入端不能使用虚短概念。列出电路的方程

图 6.6.3 K_(CMR)KCMR​ 为有限值时的分析电路

{ l v _ ID = v _ P - v _ N = v _ I - frac R _ IR _ I + R _ F v _ O v _ IC = frac 12 (v _ P + v _ N) = frac 12 v _ I + frac R _ I2 (R _ I + R _ F) v _ O . (6.6.12)$$\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{ID}}=v_{\mathrm{P}}-v_{\mathrm{N}}=v_{\mathrm{I}}-\frac{R_{\mathrm{I}}}{R_{\mathrm{I}}+R_{\mathrm{F}}}{v}_{\mathrm{O}}\\ v_{\mathrm{IC}}=\frac{1}{2}(v_{\mathrm{P}}+v_{\mathrm{N}})=\frac{1}{2}{v}_{\mathrm{I}}+\frac{R_{\mathrm{I}}}{2(R_{\mathrm{I}}+R_{\mathrm{F}})}{v}_{\mathrm{O}}\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6.12)}$$

输出电压为

v _ O = A _ rd (v _ I - frac R _ IR _ I + R _ F v _ O) + A _ vc [ frac 12 v _ I + frac R _ I2 (R _ I + R _ F) v _ O ] (6.6.13)$$v_{\mathrm{O}}=A_{\mathrm{rd}}\left(v_{\mathrm{I}}-\frac{R_{\mathrm{I}}}{R_{\mathrm{I}}+R_{\mathrm{F}}}{v}_{\mathrm{O}}\right)+A_{\mathrm{vc}}\left[\frac{1}{2}{v}_{\mathrm{I}}+\frac{R_{\mathrm{I}}}{2\left(R_{\mathrm{I}}+R_{\mathrm{F}}\right)}{v}_{\mathrm{O}}\right]\text{\hspace{1em}(6.6.13)}$$

将式 $(\mathrm{6.6.13})$ 整理后，得

A _ v f = frac v _ Ov _ I = (1 + frac R _ FR _ I) · frac 1 + 1 / (2 K _ CMR)1 + [ (R _ I + R _ F) / R _ I ] · 1 / A _ v d - 1 / (2 K _ CMR) (6.6.14)$$A_{v\mathrm{f}}=\frac{v_{\mathrm{O}}}{v_{\mathrm{I}}}=\left(1+\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{I}}}\right)\cdot \frac{1+1/(2K_{\mathrm{CMR}})}{1+[(R_{\mathrm{I}}+R_{\mathrm{F}})/R_{\mathrm{I}}]\cdot 1/A_{v\mathrm{d}}-1/(2K_{\mathrm{CMR}})}\text{\hspace{1em}(6.6.14)}$$

利用理想情况下 $A_{vf}=\frac{v_0}{v_1}=\left(1+\frac{R_F}{R_1}\right)$ ，可以算出相对误差。从式中可以看出， $K_{\mathrm{CMR}}(A_{\mathrm{vd}})$ 越大，误差越小。

6.6.4 输入失调参数 $I_{\mathrm{IB}}$ 、 $V_{\mathrm{IO}}$ 、 $I_{\mathrm{IO}}$ 引起输出电压的误差

输入失调参数 $I_{1B}$ 、 $V_{10}$ 、 $I_{10}$ 引起输出电压误差的等效电路如图 6.6.4 所示。

图 6.6.4 I_(IB)IIB​ 、 V₁0V10​ 、 I₁0I10​ 引起输出电压误差的等效电路

考虑到通常运放两个输入端的直流平衡电阻相等，即 $R^{\prime }=R_1//R_F$，所以，$I_{IB}$ 不会对输出产生影响。对电路分析可以得到

{ l v _ P = frac I _ 102 R ^ prime v _ N = frac R _ 1R _ 1 + R _ F v _ O - V _ 10 - frac I _ 102 R ^ prime . (6.6.15)$$\{\begin{array}{l}{v}_{\mathrm{P}}=\frac{I_{10}}{2}{R}^{\prime }\\ v_{\mathrm{N}}=\frac{R_1}{R_1+R_{\mathrm{F}}}{v}_{\mathrm{O}}-V_{10}-\frac{I_{10}}{2}{R}^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(6.6.15)}$$

可以解出

v _ O = (1 + frac R _ FR _ I) (V _ IO + I _ IO R ^ prime) (6.6.16)$$v_{\mathrm{O}}=\left(1+\frac{R_{\mathrm{F}}}{R_{\mathrm{I}}}\right)(V_{\mathrm{IO}}+I_{\mathrm{IO}}{R}^{\prime })\text{\hspace{1em}(6.6.16)}$$

由上式可以看出，$V_{10}$ 、 $I_{10}$ 越大，引起的误差电压越大。电路的闭环增益越大，误差电压也越大。为了减小误差电压除了选用失调小的集成运放外，直流平衡电阻 $R^{\prime }$ 应尽可能小些。

$V_{10}$ 、 $I_{10}$ 对 $v_0$ 的影响可由调零电路予以补偿。但要注意，对它们的温漂是不能用调零或补偿方法来抵消的。也就是说利用调零电路补偿以后，当温度再发生变化时，同样也会产生误差输出电压。

6.6.5 运算放大器的开环带宽对闭环增益的影响

集成运放的开环带宽一般较低，比如 $\mu A741$ 的 3 dB 开环带宽只有 7 Hz。假设集成运放的开环增益函数只有一个主极点，它的开环增益函数可表示为

dot A _ v d ≈ frac A _ v d1 + j f / f _ H (6.6.17)$${\dot{A}}_{v\mathrm{d}}\approx \frac{A_{v\mathrm{d}}}{1+\mathrm{j}f/f_{\mathrm{H}}}\text{\hspace{1em}(6.6.17)}$$

该式表明其幅频特性为每增加十倍频程下降20 dB。因此，在对频率较高的信号进行运算时，除了低频时开环增益带来的运算误差外，还需要考虑随频率的升高增益下降带来的误差。