恒包络连续相位调制(Continuous Phase Modulation, CPM)是现代数字移动通信、卫星通信和遥测遥控系统中极其重要的一类调制技术。在非线性信道(如行波管放大器、各类饱和非线性功率放大器)中,普通调制信号(如 QPSK、QAM)剧烈的包络起伏会引发严重的 AM-AM(幅度-幅度失真) 与 AM-PM(幅度-相位失真),导致带外频谱急剧旁瓣再生(Spectral Regrowth),严重干扰相邻信道。
CPM 信号通过强制信号具有 严格恒定的物理包络 与 平滑连续的相位轨迹,彻底根除了包络波动,允许发射机射频功率放大器工作于最高效率的非线性饱和状态(如 C 类功率放大器),同时带来高阶滚降(如 f⁻4 乃至指数衰减)的高阻带衰减特性。
本节系统剖析两类最具代表性的恒包络连续相位调制体制:最小移频键控(MSK) 与 高斯最小移频键控(GMSK)。
6.5.1 最小移频键控(MSK)
Section titled “6.5.1 最小移频键控(MSK)”1. MSK 的物理起源与参数约束
Section titled “1. MSK 的物理起源与参数约束”在 6.2 节中讨论连续相位 2FSK(CPFSK)时已知,两正弦载频信号在符号周期 T_b 内保持相干正交的最小频率间隔为:
Δ f = |f₁ - f₂| = (1)/(2T_b)
在此临界正交频差下,调制指数定义为:
h = (Δ f)/(R_b) = Δ f · T_b = 1/2由于 h = 0.5 是实现两相干载频正交的数学下限,且同时保证了相位轨迹的时间连续性,故称为最小移频键控(Minimum Shift Keying, MSK)。
MSK 的两个离散振荡频率关于中心载频 f_c 对称分布:
f₁ = f_c + Δ f / 2 = f_c + (1)/(4T_b) f₂ = f_c - Δ f / 2 = f_c - (1)/(4T_b)峰值频偏为:
Δ F = (Δ f)/(2) = (1)/(4T_b)
2. MSK 时域表达式与相位轨迹
Section titled “2. MSK 时域表达式与相位轨迹”将输入的双极性基带数据序列记为 aₙ ∈ {+1, -1},基带信号为:
b(t) = ∑ₙ=-∞^(∞) aₙ g_T(t - nT_b)其中 g_T(t) 为宽度为 T_b 的矩形不归零脉冲:
g_T(t) = 1, & 0 ≤ t < T_b 0, & 其它将 b(t) 馈入灵敏度为 K_f = (1)/(4T_b) 的压控振荡器(VCO),其瞬间角频率与输出信号为:
ω(t) = 2π f_c + 2π K_f b(t) = 2π f_c + (π)/(2T_b) b(t) s_(MSK)(t) = A cos(2π f_c t + θ(t))其中总附加相位 θ(t) 为输入频偏在历史时间上的积分:
θ(t) = 2π K_f ∫_(-∞)^(t) b(τ) dτ = (π)/(2T_b) ∫_(-∞)^(t) b(τ) dτ定义单元相位跃迁阶跃响应函数 q(t) = ∫_(-∞)^(t) g_T(τ)dτ:
q(t) = 0, & t < 0 (t)/(2T_b), & 0 ≤ t < T_b 1/2, & t ≥ T_b
在任意第 n 个比特区间 n T_b ≤ t < (n+1)T_b 内,相位可精确分解为历史稳态累积项与当前码元的线性斜坡项:
θ(t) = θₙ + aₙ (π)/(2T_b)(t - nT_b), nT_b ≤ t < (n+1)T_b其中历史累积初始相位 θₙ 为:
θₙ = θ(nT_b) = θ₀ + (π)/(2) ∑ₖ=-∞ⁿ-1 aₖ这表明:在每一个符号周期 T_b 内,MSK 信号的附加相位 θ(t) 呈斜率固定为 ± (π)/(2T_b) 的严格直线段变化,单码元内总相位增量恰好为 ± (π)/(2)。
相位树与相位网格(Phase Trellis)
Section titled “相位树与相位网格(Phase Trellis)”由于每一个码元贡献 ± (π)/(2) 的相位偏移,各码元边界时刻 t = nT_b 处的相位具有强烈的状态记忆性:
- 当 n 为偶数时:∑ₖ aₖ 的奇偶性使得 θ(nT_b) ≡ 0 或 π ±od2π;
- 当 n 为奇数时:θ(nT_b) ≡ ± (π)/(2) ±od2π。


3. MSK 的正交分解表示与恒包络机理
Section titled “3. MSK 的正交分解表示与恒包络机理”利用三角恒等式将 s_(MSK)(t) 展开为同相(In-phase)与正交(Quadrature)分量:
s_(MSK)(t) = A cosθ(t) cos(2π f_c t) - A sinθ(t) sin(2π f_c t)通过严密代数推导,在区间 n T_b ≤ t < (n+1)T_b 内,将 t 坐标系拆分为偶数周期与奇数周期,MSK 信号可等价表示为带有半正弦脉冲成形的正交错位调制:
s_(MSK)(t) = A [ a_I(t) cos((π t)/(2T_b)) cos(2π f_c t) - a_Q(t) sin((π t)/(2T_b)) sin(2π f_c t) ]式中:
- a_I(t) 为由输入比特序列抽取的同相支路码元,符号宽度为 Tₛ = 2T_b,在时钟点 2k T_b 处发生电平翻转;
- a_Q(t) 为正交支路码元,符号宽度同为 Tₛ = 2T_b,但发生电平翻转的时钟点错开 T_b(位于 (2k+1)T_b 处);
- a_I(t), a_Q(t) ∈ {+1, -1}。
严格恒包络性质的证明
Section titled “严格恒包络性质的证明”考察合成基带复包络的幅度:
R(t) = A √([a_I(t) cos((π t)/(2T_b))]² + [a_Q(t) sin((π t)/(2T_b))]²)由于 a_I²(t) ≡ 1 且 a_Q²(t) ≡ 1,得:
R(t) = A √(cos²((π t)/(2T_b)) + sin²((π t)/(2T_b))) ≡ A = 常数结论:MSK 信号在任意时刻的瞬时包络恒定为 A,完全无任何幅度起伏,彻底免疫功放非线性导致的互调失真。

4. MSK 的功率谱密度与高滚降特性
Section titled “4. MSK 的功率谱密度与高滚降特性”在正交分解形式下,MSK 的等效基带成形脉冲为宽度为 2T_b 的半周期余弦波:
g(t) = cos((π t)/(2T_b)), & -T_b ≤ t < T_b 0, & 其它其傅里叶变换频谱为:
G(f) = ∫_(-T_b)^(T_b) cos((π t)/(2T_b)) e⁻j 2π f t dt = (4T_b)/(π) (cos(2π f T_b))/(1 - (4f T_b)²)由于同相与正交两支路数据在统计上相互独立且等概零均值,代入随机脉冲序列功率谱公式可得 MSK 带通功率谱密度:
P_(MSK)(f) = (16 A² T_b)/(π²) [ (cos(2π (f - f_c) T_b))/(1 - 16(f - f_c)² T_b²) ]²
MSK 与 QPSK 的频域特性深度剖析
Section titled “MSK 与 QPSK 的频域特性深度剖析”- 主瓣宽度:
- MSK 的第一谱零点出现在 f - f_c = (3)/(4T_b) = 0.75 R_b,主瓣双边带宽为 Bₘain = 1.5 R_b;
- QPSK / 2PSK 的第一谱零点位于 f - f_c = 0.5 R_b,主瓣带宽为 1.0 R_b。MSK 的主瓣宽度比 QPSK 宽 50%。
- 高频旁瓣滚降速率(渐进阻带衰减):
- 当 |f - f_c| gg R_b 时,QPSK 的 sinc 谱包络以 f⁻1 衰减,功率谱密度以 f⁻2(-20 dB/十倍频 或 -6 dB/倍频程) 缓慢衰减;
- MSK 的分母包含 f² 项,其功率谱密度以 f⁻4(-40 dB/十倍频 或 -12 dB/倍频程) 极其迅速地衰减!
- 带外能量辐射限制:
- 包含 99% 辐射功率的带宽限制:QPSK 为 8.0 R_b,而 MSK 仅为 1.2 R_b!
- MSK 绝大部分能量极端紧凑地汇聚于中心主瓣周围,大幅削减了对相邻信道的邻频干扰(ACI)。
5. MSK 最佳相干接收机与误码率性能
Section titled “5. MSK 最佳相干接收机与误码率性能”MSK 信号由两个相差 T_b 的正交载波分量构成,在加性高斯白噪声信道(AWGN)中,可采用由两个独立匹配滤波器构成的并联解调器进行最佳接收。

两正交支路的相干本地参考信号分别为:
r_I(t) = cos((π t)/(2T_b)) cos(2π f_c t) r_Q(t) = sin((π t)/(2T_b)) sin(2π f_c t)由于每个支路的积分判决时间跨度为 2T_b,每个支路接收到的单符号能量为 Eₛ = 2E_b。对同相支路与正交支路分别在各自的最佳抽样判决时刻独立判决,单路误符号率为:
Pₑ = Q(√((2Eₛ)/(N₀))) = Q(√((2(2E_b))/(2N₀))) = Q(√((2E_b)/(N₀)))因为两支路信号在时间上交替交错 T_b,输出解调合成后的总误比特率(BER)恰好等于单支路误码率:
P_b = Q(√((2E_b)/(N₀))) = 1/2 operatornameerfc(√((E_b)/(N₀)))MSK 在物理层实现了三大极致特性的完美兼备:
- 恒定包络:包络波动严格为 0 dB,完全适应高能效非线性饱和功放;
- 频谱洁净:带外功率谱以 f⁻4 滚降,99% 能量集中在 1.2 R_b 内;
- 抗噪性能无损:其误比特率公式与理想双极性 2PSK 和四相 QPSK 完全数学等价,无需付出额外的信噪比代价!
6.5.2 高斯最小移频键控(GMSK)
Section titled “6.5.2 高斯最小移频键控(GMSK)”1. GMSK 的工程动因与预滤波机制
Section titled “1. GMSK 的工程动因与预滤波机制”尽管 MSK 的旁瓣衰减速率达 f⁻4,但在信道间隔极其狭窄的蜂窝蜂窝移动通信制式(如 GSM、DECT)中,为了达到严格的相邻信道泄漏比(ACLR ≤ -60 dB)指标,MSK 的第一旁瓣(约为 -23 dB)仍然过高。
1981年,日本学者室田和昭(K. Murota)与平出贤吉(K. Hirade)提出了 高斯最小移频键控(Gaussian Minimum Shift Keying, GMSK):在 MSK 调制器前置串入一个高斯低通预滤波器(GLPF)。

2. 高斯滤波器的冲激响应与成形脉冲
Section titled “2. 高斯滤波器的冲激响应与成形脉冲”理想高斯低通滤波器的传输特性函数具有高斯钟形分布:
H(f) = exp(-α² f²) = exp(-(ln 2)/(2)(f/B)²)式中 B 为滤波器的 3 dB 截止带宽,此时 H(B) = exp(-(ln 2)/(2)) = (1)/(√(2))。
对其求傅里叶逆变换,得到高斯滤波器的单位冲激响应:
h(t) = (√(2π))/(α) exp(-(2π² t²)/(α²)) = (1)/(√(2π)σ) exp(-(t²)/(2σ²))参数常量为:
α = (√(ln 2))/(√(2) B), σ = (√(ln 2))/(2π B)单个宽度为 T_b、幅度为 1 的矩形脉冲 g_T(t) 经高斯低通滤波器激励后,输出的频率成形脉冲 g(t) = g_T(t) * h(t) 可解析表示为误差函数:
g(t) = (1)/(2T_b) [ Q(2π B (t - T_b/2)/(√(ln 2))) - Q(2π B (t + T_b/2)/(√(ln 2))) ]工程上常用无量纲的归一化带宽参数 B T_b 来表征该滤波器的特性。例如 GSM 标准中严格指定:
B T_b = 0.3

3. GMSK 的眼图、相位路径与受控码间串扰(Controlled ISI)
Section titled “3. GMSK 的眼图、相位路径与受控码间串扰(Controlled ISI)”由图 6.5.10 可见:当 B T_b = 0.3 时,脉冲 g(t) 的有效时域宽度从原来的 1 T_b 展宽至约 3 ∼ 4 T_b。 这意味着当前码元的脉冲响应会越界扩散至前后的邻近码元区间内,从而人为引入了受控的码间串扰(Controlled Inter-Symbol Interference, ISI)。


受控码间串扰消除了 MSK 相位网格在节点处的尖锐折角,使得相位的导数(即瞬时频偏)连续且无限阶可导,这为频域阻带的超深衰减奠定了数理基础。
4. GMSK 功率谱密度的极限制导
Section titled “4. GMSK 功率谱密度的极限制导”通过高斯预滤波,GMSK 信号的功率谱旁瓣以惊人的速率向下坍塌:

从图 6.5.14 可以观察到明显的工程规律:
- B T_b = ∞ 即为常规 MSK,在偏移载频 2 R_b 处的旁瓣电平约为 -32 dB;
- 当 B T_b = 0.5 时,在 2 R_b 处旁瓣已压低至 -50 dB;
- 当 B T_b = 0.3(GSM 标准)时,在 2 R_b 处旁瓣深陷至 -70 dB 以下!其阻带能量衰减速率接近高斯函数的指数衰减,彻底解决了移动通信大容量密集组网下的同频/邻频干扰瓶颈。
5. 洛朗(Laurent)线性分解与调制发射机实现
Section titled “5. 洛朗(Laurent)线性分解与调制发射机实现”在数学上,GMSK 本质上是非线性调制体制。然而,1986年 Pierre A. Laurent 在其奠基性论文中证明:任何二进制单极性/双极性连续相位调制(CPM)信号,均可精确展开为有限项幅度调制脉冲(PAM)序列的线性叠加。
对于关联截断长度为 L = 3(B T_b = 0.3)的 GMSK 信号,洛朗分解可表示为 2^(L-1) = 4 个成形分量的叠加:
s_(GMSK)(t) = ∑ₖ=0²^(L-1)-1 ∑ₙ=-∞^(∞) Cₖ,n hₖ(t - nT_b)其中 h₀(t) 称为主脉冲(Principal Component),其余 h₁(t), h₂(t), h₃(t) 称为次级脉冲。

主脉冲能量压倒性优势
Section titled “主脉冲能量压倒性优势”数值积分表明:在 B T_b = 0.3 时,主脉冲 c₀(t) 集中了 GMSK 超过 99.9% 的总辐射能量!次级脉冲的能量占比低于 0.1%。 因此在工程实现中,完全可以略去所有高阶次级脉冲,将 GMSK 高度精确地近似为等效的线性偏置正交相移键控(OQPSK)信号:
s_(GMSK)(t) ≈ ∑ₙ jⁿ dₙ c₀(t - nT_b) e^(j 2π f_c t)为消除解调时的符号记忆并适应直接相干接收,通常在发射端前置差分预编码器(Differential Precoding):

基于此线性分解与相位累加查找机制,现代全数字 GMSK 调制器普遍采用 ROM 查表法 或 数字正交调制法:


6. GMSK 接收解调与误码率性能
Section titled “6. GMSK 接收解调与误码率性能”
由于洛朗主脉冲 c₀(t) 的主导地位,GMSK 的接收机可采用与 MSK / OQPSK 完全兼容的低复杂度正交相关解调结构:

抗噪性能代价评估
Section titled “抗噪性能代价评估”由于高斯滤波器引入了受控的码间串扰(眼图张开度减小),相干解调时抗加性高斯白噪声的等效信噪比会有微小恶化:
P_b ≈ Q(√(2 γ (E_b)/(N₀)))其中 γ < 1 称为码间串扰衰落因子(Degradation Factor):
- 当 B T_b = ∞(MSK)时:γ = 1.0(0 dB 损耗);
- 当 B T_b = 0.5 时:γ ≈ 0.95(损耗仅约 0.2 dB);
- 当 B T_b = 0.3 时:γ ≈ 0.79 ∼ 0.85(解调损耗约为 0.7 ∼ 1.0 dB);若采用基于维特比算法的最大似然序列估计(MLSE)均衡器消除受控 ISI,损耗可进一步收窄至 0.2 dB 以内。
| 特性指标 | 2PSK / QPSK | MSK (h=0.5) | GMSK (B T_b = 0.3) |
|---|---|---|---|
| 包络特征 | 存在零点下陷与剧烈起伏 | 严格恒定包络(0 dB) | 严格恒定包络(0 dB) |
| 相位连续性 | 存在 180^circ / 90^circ 突跳 | 严格连续,导数分段常数 | 严格连续且无限阶平滑 |
| 主瓣宽度 | 1.0 R_b | 1.5 R_b | 约 1.2 ∼ 1.4 R_b |
| 阻带滚降速率 | f⁻2 (-20 dB/dec) | f⁻4 (-40 dB/dec) | 指数级快速滚降(< -70 dB) |
| 99% 能量带宽 | 8.0 R_b | 1.2 R_b | 0.86 R_b |
| 码间串扰(ISI) | 理想无 ISI | 无 ISI | 受控 ISI(扩散至 3 ∼ 4 T_b) |
| 相干误码率 (AWGN) | Q(√(2E_b/N₀)) | Q(√(2E_b/N₀)) | 仅损耗约 0.7 ∼ 1.0 dB(可均衡弥补) |
| 功率放大器适用 | 必须高度线性化(A/AB 类) | 高能效饱和功放(C 类) | 高能效饱和功放(C 类) |