6.3 四相移相键控 · 《通信原理（第5版）》

四相移相键控（Quadrature Phase Shift Keying, QPSK）又称四进制移相键控（4PSK）。它是现代高速无线通信（如 4G/5G 蜂窝网络、卫星通信广播 DVB-S、Wi-Fi 局域网）中应用最广泛、最核心的经典调制体制。QPSK 巧妙利用两个正交正弦载波同时传输两个独立的二进制比特，在误比特率完全不劣化的前提下，将系统的频带利用率提高了一倍。

6.3.1 四相移相键控（QPSK）

1. QPSK 信号的产生

QPSK 信号的正弦型载波具有 4 个离散相位状态，每个符号周期 $T_s$ 携带 2 个二进制比特（ $T_s = 2T_b$ ）。其数学表达式为：

s_i(t) = A\cos(\omega_c t + \theta_i), \quad i = 1, 2, 3, 4, \quad 0 \leqslant t \leqslant T_s \tag{6.3.1}

式中 4 个离散相位通常采用两种体制：

体制 A（轴对齐矢量）： $\theta_i = (i-1)\frac{\pi}{2} \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\right\}$ ，如图 6.3.1( $a$ ) 所示；
体制 B（象限对角矢量，最常用）： $\theta_i = (2i-1)\frac{\pi}{4} \in \left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right\}$ ，如图 6.3.1( $b$ ) 所示。

对体制 $B$ ，利用三角恒等式展开式 (6.3.1)：

s_i(t) = A(\cos\theta_i \cos\omega_c t - \sin\theta_i \sin\omega_c t) \tag{6.3.2}

由于 $\cos\theta_i = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ ， $\sin\theta_i = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ ，式 (6.3.2) 可严格分解为两路相互正交的 2PSK 信号之和：

s_i(t) = \frac{A}{\sqrt{2}}\left[ I(t)\cos\omega_c t - Q(t)\sin\omega_c t \right], \quad 0 \leqslant t \leqslant T_s \tag{6.3.3}

其中 $I(t) \in \{+1, -1\}$ 称为同相分量（In-phase）， $Q(t) \in \{+1, -1\}$ 称为正交分量（Quadrature）。正交调制原理如图 6.3.2 所示。

flowchart LR
    in["二进制双极性脉冲序列 {a_k}\n速率 R_b = 1/T_b"] --> sp["串/并变换器\n(1:2 降速分流)"]
    sp -->|"偶数位 a_{2n}, 周期 2T_b"| I["同相支路 I(t)"]
    sp -->|"奇数位 a_{2n-1}, 周期 2T_b"| Q["正交支路 Q(t)"]
    I --> m1(("乘法器"))
    Q --> m2(("乘法器"))
    c1["(A / sqrt(2)) cos(omega_c t)"] --> m1
    c2["-(A / sqrt(2)) sin(omega_c t)"] --> m2
    m1 --> add(("加法器 (+)"))
    m2 --> add
    add --> out["QPSK 已调信号\ns_QPSK(t)"]

例 6.3.1 QPSK 串并变换与格雷码映射波形

设输入二进制序列为 $\{a_k\} = \{+1, +1, -1, +1, +1, -1, +1, -1, +1, +1, -1, -1, -1, +1\}$ 。分析串并变换输出的双比特序列，绘制 $I(t)$ 与 $Q(t)$ 的基带波形。

解

将 $\{a_k\}$ 按奇偶位拆分：

偶数位分配给同相支路： $\{a_{k,\text{even}}\} = \{+1, +1, -1, -1, +1, -1, +1\}$ ；
奇数位分配给正交支路： $\{a_{k,\text{odd}}\} = \{+1, -1, +1, +1, +1, -1, -1\}$ 。

两支路码元周期均由 $T_b$ 展宽为符号周期 $T_s = 2T_b$ 。波形如图 6.3.3 所示。

图 6.3.3 QPSK 串并变换及 I(t), Q(t) 波形图（原书影印参考）

每个双比特符号 $(a_{k,\text{even}}, a_{k,\text{odd}})$ 与载波相位 $\theta_i$ 采用**格雷码（Gray Code）**映射：

四进制码	双比特码 $(b_1 b_2)$	电平映射 $(I, Q)$	载波相位 $\theta_i$
0	$00$	$(+1, +1)$	$\pi/4$
1	$10$	$(-1, +1)$	$3\pi/4$
2	$11$	$(-1, -1)$	$5\pi/4$
3	$01$	$(+1, -1)$	$7\pi/4$

格雷码的黄金法则在于：相邻两个相位状态对应的双比特码之间仅有 1 位发生变化。在信道噪声导致判决发生临近偏转时，绝大多数错判仅带来 1 个错误比特，显著压低了误比特率。

2. QPSK 信号的功率谱密度与频带利用率

由于 QPSK 是同相与正交两路载波正交的 2PSK 信号的线性叠加，其总功率谱等于两支路功率谱之和。

当输入二进制信息速率为 $R_b = 1/T_b$ 、总发射功率为 $P = \frac{A^2}{2}$ 时，各支路的码元持续时间为 $T_s = 2T_b$ ，支路幅度为 $A/\sqrt{2}$ 。因此 QPSK 信号的双边功率谱密度为：

P_{\text{QPSK}}(f) = \frac{A^2 T_b}{2}\left\{ \operatorname{sinc}^2[2(f - f_c)T_b] + \operatorname{sinc}^2[2(f + f_c)T_b] \right\} \tag{6.3.5}

对比 2PSK 功率谱式 (6.2.46)：

P_{\text{2PSK}}(f) = \frac{A^2 T_b}{4}\left\{ \operatorname{sinc}^2[(f - f_c)T_b] + \operatorname{sinc}^2[(f + f_c)T_b] \right\}

两者的频谱对比曲线如图 6.3.4 所示。

图 6.3.4 在给定信息速率为 Rb 条件下，2PSK 及 QPSK 双边功率谱密度（原书影印参考）

QPSK 频谱收敛性与频带利用率

谱主瓣带宽：在相同信息速率 $R_b$ 下，QPSK 功率谱主瓣宽度为：
$B_{\text{QPSK}} = \frac{2}{T_s} = \frac{1}{T_b} = R_b$
而 2PSK 的主瓣宽度为 $B_{\text{2PSK}} = 2R_b$ 。QPSK 所需频带宽度严格仅为 2PSK 的一半！
频带利用率（频谱效率）： QPSK 的频带利用率提高为原来的 2 倍：
$\eta = \frac{R_b}{B_{\text{QPSK}}} = 1.0\text{ bit}/(\text{s}\cdot\text{Hz})$

3. QPSK 最佳接收机与误比特率（BER）

在加性高斯白噪声（AWGN）信道下，接收信号为：

r(t) = s_{\text{QPSK}}(t) + n_w(t)

QPSK 最佳相干接收机利用两路本地正交载波 $\frac{A}{\sqrt{2}}\cos\omega_c t$ 与 $-\frac{A}{\sqrt{2}}\sin\omega_c t$ 分别进行匹配滤波或相干相关积分（积分时间为符号周期 $T_s = 2T_b$ ），再经并串变换合并恢复出原始比特流，如图 6.3.5 所示。

flowchart LR
    r["接收信号 r(t)"] --> m1(("乘法器"))
    r --> m2(("乘法器"))
    c1["(A / sqrt(2)) cos(omega_c t)"] --> m1
    c2["-(A / sqrt(2)) sin(omega_c t)"] --> m2
    m1 --> mf1["积分器 / 匹配滤波器\n0 到 T_s 积分"]
    m2 --> mf2["积分器 / 匹配滤波器\n0 到 T_s 积分"]
    mf1 --> d1{"判决器\n(门限 0)"}
    mf2 --> d2{"判决器\n(门限 0)"}
    d1 --> ps["并/串变换器"]
    d2 --> ps
    ps --> out["恢复二进制比特流"]

由于两载波在时间区间 $[0, T_s]$ 上严格正交：

\int_0^{T_s} \cos(\omega_c t)\sin(\omega_c t)\,\mathrm{d}t \approx 0

两支路之间完全无相互干扰。每支路接收机等价于一个独立的 2PSK 解调器，其符号能量为 $E_s/2 = E_b$ 。因此 $I$ 支路与 $Q$ 支路的平均判决错误概率为：

P_{eI} = P_{eQ} = \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left( \sqrt{\frac{(A/\sqrt{2})^2 (2T_b)}{2N_0}} \right) = \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) \tag{6.3.7}

总二进制码元出现于 $I$ 支路与 $Q$ 支路的概率均为 $1/2$ ：

P_b = \frac{1}{2}P_{eI} + \frac{1}{2}P_{eQ} = \frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \tag{6.3.9}

图 6.3.6 展示了在理想限带信道下的完整 QPSK 最佳频带传输系统。

图 6.3.6 在理想限带及加性白高斯噪声信道条件下的 QPSK 系统（原书影印参考）

通信原理核心定理：QPSK 零代价频带加倍特性

将 QPSK 与 2PSK 严密对比：在信息速率相同、总发射功率相同、信道白噪声谱密度相同的条件下：

误比特率完全相同： $P_{b,\text{QPSK}} = P_{b,\text{2PSK}} = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$ ；
频带占用减少一半： $B_{\text{QPSK}} = \frac{1}{2}B_{\text{2PSK}}$ 。

这表明：正交二维调制在不付出任何能量代价（信噪比代价）的条件下，使系统频带利用率翻倍。这是通信调制领域最具美感的物理定理之一。

6.3.2 差分四相移相键控（DQPSK）

与 2PSK 的双重相位模糊类似，QPSK 接收机在利用四次方环或四相科斯塔斯环提取载波时，会不可避免地产生 四重相位模糊（ $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ ）。一旦本地载波出现 $90^\circ$ 或 $180^\circ$ 旋转，解调输出将严重瘫痪。差分四相移相键控（DQPSK）通过对双比特数据执行差分编码彻底消除该隐患。

1. DQPSK 调制与解调架构

原理框图如图 6.3.7 所示。

输入的双比特绝对码 $(b_{I,n}, b_{Q,n})$ 首先在差分编码器中转化为相对码 $(a_{I,n}, a_{Q,n})$ 。调制载波的当前相位 $\theta_n$ 与前一符号载波相位 $\theta_{n-1}$ 之差 $\Delta \theta_n = \theta_n - \theta_{n-1}$ 遵循格雷差分映射准则（表 6.3.2）：

四进制码	绝对双比特码 $(b_{I,n}, b_{Q,n})$	相位增量 $\Delta \theta_n = \theta_n - \theta_{n-1}$
0	$(+1, +1)$	$0$
1	$(-1, +1)$	$+\frac{\pi}{2}$ （或 $-\frac{3\pi}{2}$ ）
2	$(-1, -1)$	$+\pi$ （或 $-\pi$ ）
3	$(+1, -1)$	$+\frac{3\pi}{2}$ （或 $-\frac{\pi}{2}$ ）

接收端解调出的双比特数据经差分译码恢复出原始绝对码。差分译码仅与相邻相位的差值相关，完全免疫于载波恢复中的整度转角模糊。各系统的误比特率曲线对比见图 6.3.8。

图 6.3.8 2PSK, QPSK 及 DPSK, DQPSK 的误比特率（原书影印参考）

6.3.3 偏移四相移相键控（OQPSK）

在无线数字通信发端，已调频带信号必须送入高功率放大器（HPA）进行功率放大。然而实际功率放大器均存在饱和非线性区。如果输入信号包络剧烈起伏，功放的 AM/AM 与 AM/PM 非线性失真将导致：

信号星座图产生非线性畸变与压缩，误码率急剧升高；
已经滤波成形的频带外功率发生严重频谱再生（Spectral Regrowth），旁瓣剧烈抬升，严重干扰邻近信道。

1. 传统 QPSK 的包络陷落危机

在传统 QPSK 中，同相支路 $a_I(t)$ 与正交支路 $a_Q(t)$ 在符号时钟边界上完全对齐。当两个支路的数据同时发生电平翻转时（例如从 $(+1, +1)$ 跃迁至 $(-1, -1)$ ）：

信号相位发生 $180^\circ$ 的突变；
经过脉冲成形低通滤波后，信号合成包络 $A(t) = \sqrt{a_I^2(t) + a_Q^2(t)}$ 会瞬时穿越零点（ $A(t) \to 0$ ），如图 6.3.9( $a$ ) 所示。
此时包络峰均功率比（PAPR）极大，包络最大值与最小值之比趋近于无穷大。

2. OQPSK 的正交时移解耦机制

偏移四相移相键控（Offset QPSK, OQPSK，又称参差 QPSK）的核心改进非常优雅： 在调制发端将 $Q$ 支路的基带脉冲序列在时间轴上强制错开半个符号周期（即 1 个比特间隔 $T_b = T_s/2$ ）：

s_{\text{OQPSK}}(t) = a_I(t)\cos\omega_c t - a_Q(t - T_b)\sin\omega_c t

flowchart LR
    in["输入二进制序列"] --> sp["串并变换器"]
    sp -->|"I 支路 (周期 2T_b)"| p1["脉冲成形"]
    sp -->|"Q 支路 (周期 2T_b)"| p2["脉冲成形"]
    p1 --> m1(("乘法器"))
    p2 --> dly["延迟 T_b = T_s / 2"]
    dly --> m2(("乘法器"))
    c1["cos(omega_c t)"] --> m1
    c2["-sin(omega_c t)"] --> m2
    m1 --> add(("加法器"))
    m2 --> add
    add --> hpa["非线性功率放大器 (HPA)"]
    hpa --> out["OQPSK 发射信号 (恒定紧凑包络)"]

3. OQPSK 性能物理特性

彻底杜绝 $180^\circ$ 相位跃变：由于两路跳变时刻交替错开 $T_b$ ，在任何单一跳变时刻只有一路电平发生变化。载波相位在单次状态转换中最大仅能改变 $\pm 90^\circ$ 或 $0^\circ$ ，绝对不会穿过原点，如图 6.3.9( $b$ ) 所示。
极度平滑的包络特性：限带后包络波动范围大大缩小（包络谷值仅降至峰值的 $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ ），极大放宽了对射频高功率放大器线性动态范围的要求，功放可在接近饱和点的高效率区工作。
频谱与误码率完全不变：由于 $Q$ 支路延迟 $T_b$ 仅是时间平移，两路载波依然保持严密正交。在 AWGN 线性信道中，OQPSK 的理论功率谱密度和误比特率与标准 QPSK 完全一致；但在带限非线性信道中，OQPSK 的抗旁瓣扩展性能具有压倒性优势。