5.8 部分响应系统 · 《通信原理（第5版）》

前面指出，为了消除码间干扰并达到极限频带利用率 $2\text{ Baud/Hz}$ ，奈奎斯特第一准则要求系统传递函数为理想矩形低通滤波。但理想矩形滤波器在物理上无法实现，且时域脉冲拖尾按 $1/t$ 衰减，对定时抖动极度敏感；而升余弦滚降滤波器虽然物理可实现且拖尾衰减快，但必须以牺牲频带利用率为代价（ $\eta_s = \frac{2}{1 + \alpha} < 2\text{ Baud/Hz}$ ）。

为了化解这一对尖锐矛盾，提出了部分响应系统（Partial Response System）：

核心思想：不再追求抽样点码间干扰处处为零，而是有意识地在某些确定抽样点人为引入幅度已知的受控码间干扰（Controlled ISI）；
核心收益：在频域将垂直陡峭的截止边缘改造为平滑滚降的余弦过渡带（物理极易实现），同时在奈奎斯特带宽 $W = 1/(2T_b)$ 内完整实现最高理论频带利用率 $2\text{ Baud/Hz}$ 。

5.8.1 第一类部分响应系统的构成

图 5.8.1 给出了第一类部分响应系统（双二进制系统， Duobinary System）的系统框图。系统由相关编码器、理想低通滤波器及抽样判决器级联而成。

flowchart LR
    src["二进制序列 $$\{b_n\}$$"] --> map["电平映射\n$$a_n \\in \\{\\pm 1\\}$$"]
    map --> cor["相关编码器\n$$c_n = a_n + a_{n-1}$$"]
    cor --> lpf["理想低通 $$H_2(f)$$\n截止带宽 $$W = 1/(2T_b)$$"]
    lpf --> chan["信道传输"]
    chan --> rx["接收滤波与抽样\n$$t = n T_b$$"]
    rx --> dec["三电平判决器"] --> out["恢复数据"]

设输入二进制比特流为 $\{b_n\}$ ，经电平变换后得到极性序列 $a_n \in \{-1, +1\}$ 。相关编码器将当前输入符号与延迟一个周期的前导符号进行代数相加：

c_n = a_n + a_{n-1} \tag{5.8.2}

将二电平独立序列转换为具有时域相关性的三电平序列 $c_n \in \{-2, 0, +2\}$ 。

第一类部分响应相关编码序列计算

已知输入二进制序列为 $\{b_n\} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0)$ ，试求双极性序列 $\{a_n\}$ 及相关编码输出序列 $\{c_n\}$ （设初态 $a_0 = -1$ ）。

解

根据映射规则（ $1 \to +1, 0 \to -1$ ）与代数相加 $c_n = a_n + a_{n-1}$ ：

序号 $n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
输入 $\{b_n\}$	-	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0
极性 $\{a_n\}$	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1
编码 $\{c_n\}$	-	0	+2	+2	0	-2	0	0	0	+2	+2	0	-2	0	0

相关编码输出取值为 $\{-2, 0, +2\}$ 三种离散电平，在相邻码元之间成功建立了确定性的代数相关。

5.8.2 传递函数与冲激响应

相关编码器的频域传输特性为：

H_1(f) = 1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{j}2\pi f T_b} = 2\cos(\pi f T_b)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi f T_b} \tag{5.8.3}

截止带宽为 $W = \frac{1}{2T_b}$ 的理想低通滤波器特性为 $H_2(f) = T_b \, \operatorname{rect}(f / 2W)$ 。两者级联后的系统总传递函数为：

第一类部分响应系统的频域与时域解析特性

系统总传递函数为：

H_I(f) = H_1(f) H_2(f) = \begin{cases} 2T_b\cos(\pi f T_b)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\pi f T_b}, & |f| \leqslant \frac{1}{2T_b} \\ 0, & |f| > \frac{1}{2T_b} \end{cases} \tag{5.8.5}

对应的时域总冲激响应（双二进制脉冲）为两个相距 $T_b$ 的 $\operatorname{sinc}$ 脉冲叠加：

h_I(t) = \operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T_b}\right) + \operatorname{sinc}\left(\frac{t - T_b}{T_b}\right) = \frac{T_b^2 \sin(\pi t / T_b)}{\pi t(T_b - t)} \tag{5.8.6}

其在离散抽样时刻 $t = n T_b$ 的响应为：

h_I(n T_b) = \begin{cases} 1, & n = 0, 1 \\ 0, & n = \text{其他整数} \end{cases} \tag{5.8.7}

如图 5.8.2 所示， $H_I(f)$ 的幅频特性在截止频率 $W = \frac{1}{2T_b}$ 处以半个余弦波形平滑落至零，相频特性严格线性。物理上可用结构极其简单的低阶模拟滤波器高精度逼近，彻底消除了阶跃突变；同时系统带宽仍为严格的奈奎斯特带宽 $W = R_b/2$ ，频带利用率达到理论天花板 $2\text{ Baud/Hz}$ 。

5.8.3 误码传播与预编码机制

若直接根据 $c_n = a_n + a_{n-1}$ 在接收端进行逐符号递推判决：

\hat{a}_n = c_n - \hat{a}_{n-1} \tag{5.8.8}

其致命隐患是：若前一符号 $\hat{a}_{n-1}$ 受到噪声干扰发生判决错误，由于递推依赖关系，将导致后续一系列符号连续错判，产生严重的**误码传播（Error Propagation）**现象。

为彻底根除误码传播，在发送端相关编码之前引入模二加预编码（Precoding），系统结构如图 5.8.4 所示。

flowchart LR
    src["$$\{b_n\}$$"] --> xor(("⊕"))
    xor --> delay["延时 $$T_b$$"]
    delay -->|"$$d_{n-1}$$"| xor
    xor -->|"$$d_n$$"| map["电平映射\n$$a_n = 2d_n - 1$$"]
    map --> cor["相关编码\n$$c_n = a_n + a_{n-1}$$"]
    cor --> out["部分响应信道传输"]

加有预编码的第一类部分响应无差错传播判决法则

预编码规则：输入数据 $\{b_n\}$ 与前一预编码符号进行模二加运算：
$d_n = b_n \oplus d_{n-1} \tag{5.8.9}$
电平变换与相关编码： $a_n = 2d_n - 1 \in \{-1, +1\}$ 。抽样值相关编码结果为：
$c_n = a_n + a_{n-1} = (2d_n - 1) + (2d_{n-1} - 1) = 2(d_n + d_{n-1} - 1) \tag{5.8.11}$
接收端独立非递推判决规则：对上式两端作模二运算，由于 $b_n = d_n \oplus d_{n-1}$ ，直接得到：
$bₙ = [(cₙ)/(2) + 1] \pmod 2 (5.8.13)$ $b_{n} = [\frac{c _{n}}{2} + 1] (mod 2) (5.8.13)$
即接收端只需根据当前抽样值 $c_n$ 独立判决，与历史符号无任何关联：
- 当 $c_n = \pm 2$ 时，判决 $\hat{b}_n = 0$ ；
- 当 $c_n = 0$ 时，判决 $\hat{b}_n = 1$ 。
加性噪声干扰下的双门限判决准则：在接收抽样值 $y_n = c_n + n_n$ 条件下，设置双判决门限 $\pm 1$ ：
$\hat{b}_n = \begin{cases} 1, & |y_n| < 1 \\ 0, & |y_n| \geqslant 1 \end{cases} \tag{5.8.16}$

加有预编码的第一类部分响应系统编解码全过程

设输入序列为 $\{b_n\} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0)$ ，初态取 $d_0 = 0$ 。试计算预编码序列 $\{d_n\}$ 、电平序列 $\{a_n\}$ 、采样序列 $\{c_n\}$ 以及接收端判决恢复序列 $\{\hat{b}_n\}$ 。

解

根据预编码 $d_n = b_n \oplus d_{n-1}$ 、映射 $a_n = 2d_n - 1$ 、编码 $c_n = a_n + a_{n-1}$ 及判决法则：

序号 $n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
输入 $\{b_n\}$	-	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0
预编码 $\{d_n\}$	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1
极性 $\{a_n\}$	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1
抽样值 $\{c_n\}$	-	0	0	0	+2	+2	0	-2	0	0	0	+2	+2
判决输出 $\{\hat{b}_n\}$	-	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0

恢复数据 $\{\hat{b}_n\}$ 与原始输入 $\{b_n\}$ 严格一致。接收端每个符号完全独立判决，即便单个抽样值由于噪声瞬时抖动发生错判，也不会扩散传递给后续符号，彻底消除了误码传播。