4.3 角度调制

在角度调制（Angle Modulation）中，带通信号的包络为常数，基带信息 $m(t)$ 携带在已调载波的瞬时相位或瞬时频率中。因为包络保持恒定，角度调制属于恒包络调制，对信道中的非线性失真具有极强的抵抗能力。

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4.3.1 调频与调相

在角度调制中，已调信号的复包络为：

s_L(t) = A_ce^(jθ(t))$$s_L(t)=A_c{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta (t)}$$

不妨取 $A_c=1$，可将复包络理解为一个在复平面单位圆上连续旋转运动的点，如图 4.3.1 所示。单位时间内 $s_L(t)$ 扫过的弧长等于旋转角度，线速度就是角速度。相位的一阶导数 ${\theta }^{\prime }(t)$ 是复包络的瞬时角速度（瞬时角频率），复包络的瞬时频率为 $\frac{1}{2\pi }{\theta }^{\prime }(t)$。

带通信号的时域表达式为：

s(t) = operatornameRe{s_L(t)e^(j2π f_c t)} = A_ccos[2π f_c t + θ(t)]$$s(t)=\mathrm{Re}\{s_L(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}\}=A_c\cos [2\pi f_{c}t+\theta (t)]$$

其总瞬时相位为 $\Phi (t)=2\pi f_{c}t+\theta (t)$，瞬时频率为：

f(t) = (1)/(2π)(dΦ(t))/(dt) = f_c + (1)/(2π)(dθ(t))/(dt)$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{d}\Phi (t)}{\mathrm{d}t}=f_c+\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta (t)}{\mathrm{d}t}$$

其中 $\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi }{\theta }^{\prime }(t)$ 称为瞬时频偏。

flowchart LR
    orig((原点)) -->|"$$A_c = 1$$"| pt["$$s_L(t) = \\mathrm{e}^{\\mathrm{j}\\theta(t)}$$"]
    pt --> arc["在单位圆上旋转\n线速度 = 角速度 $$\\theta'(t)$$"]

图 4.3.1 单位圆上的运动（原书影印参考）

根据基带信号 $m(t)$ 控制角度参量的不同方式，角度调制分为调相与调频：

调相（PM）与调频（FM）的基本定义

1. 调相（Phase Modulation, PM）： 瞬时相位偏移 $\theta (t)$ 与基带信号 $m(t)$ 成正比：

   θ(t) = Kₚ m(t) (4.3.1)$$\theta (t)=K_{p}m(t)\text{\hspace{1em}(4.3.1)}$$

   其中 $K_p$ 称为调相灵敏度（Phase Sensitivity），单位为 $\text{rad/V}$。PM 已调信号表达式为：

   s_(PM)(t) = A_ccos[2π f_c t + Kₚ m(t)] (4.3.3)$$s_{\text{PM}}(t)=A_c\cos [2\pi f_{c}t+K_{p}m(t)]\text{\hspace{1em}(4.3.3)}$$

2. 调频（Frequency Modulation, FM）： 瞬时频偏与基带信号 $m(t)$ 成正比：

   (1)/(2π)(dθ(t))/(dt) = K_f m(t) (4.3.2)$$\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta (t)}{\mathrm{d}t}=K_{f}m(t)\text{\hspace{1em}(4.3.2)}$$

   其中 $K_f$ 称为调频灵敏度（Frequency Sensitivity），单位为 $\text{Hz/V}$。对上式两端积分，得瞬时相位：

   θ(t) = 2π K_f ∫_(-∞)^t m(τ) dτ$$\theta (t)=2\pi K_f{\int }_{-\infty }^{t}m(\tau )\mathrm{d}\tau$$

   FM 已调信号表达式为：

   s_(FM)(t) = A_ccos[2π f_c t + 2π K_f ∫_(-∞)^t m(τ) dτ] (4.3.4)$$s_{\text{FM}}(t)=A_c\cos \left[2\pi f_{c}t+2\pi K_f{\int }_{-\infty }^{t}m(\tau )\mathrm{d}\tau \right]\text{\hspace{1em}(4.3.4)}$$

从式 (4.3.3) 和式 (4.3.4) 可以看出 PM 与 FM 之间的密切对应关系，如图 4.3.2 所示：

• 若将基带信号 $m(t)$ 先经过积分器，再送入调相器，输出即为调频信号；
• 若将基带信号 $m(t)$ 先经过微分器，再送入调频器，输出即为调相信号。

flowchart LR
    subgraph FM产生["调频信号的调相产生法"]
        m1["$$m(t)$$"] --> int["积分器\n$$\\int (\\cdot)\\,\\mathrm{d}t$$"] --> pmMod["PM 调相器"] --> fmOut["FM 信号"]
    end

    subgraph PM产生["调相信号的调频产生法"]
        m2["$$m(t)$$"] --> diff["微分器\n$$\\mathrm{d}/\\mathrm{d}t$$"] --> fmMod["FM 调频器"] --> pmOut["PM 信号"]
    end

图 4.3.2 调频与调相之间的关系（原书影印参考）

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4.3.2 FM 信号的频谱与带宽

1. 单音调频信号与贝塞尔展开

设基带调制信号为单音频正弦信号 $m(t)=A_m\cos (2\pi f_{m}t)$，代入 FM 表达式可得：

θ(t) = 2π K_f ∫₀^t Aₘcos(2π fₘτ) dτ = (K_f Aₘ)/(fₘ)sin(2π fₘ t)$$\theta (t)=2\pi K_f{\int }_0^t{A}_m\cos (2\pi f_m\tau )\mathrm{d}\tau =\frac{K_f{A}_m}{f_m}\sin (2\pi f_{m}t)$$

定义最大频偏（Maximum Frequency Deviation） $\Delta f_{\max }$ 和调频指数（Modulation Index） ${\beta }_f$：

Δ f_(max) = K_f Aₘ, β_f = fracΔ f_(max)fₘ (4.3.10)$$\Delta f_{\max }=K_f{A}_m,{\beta }_f=\frac{\Delta f_{\max }}{f_m}\text{\hspace{1em}(4.3.10)}$$

则单音调频信号的复包络（设 $A_c=1$）为：

s_L(t) = e^(jβ_fsin(2π fₘ t))$$s_L(t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\beta }_f\sin (2\pi f_{m}t)}$$

由于 $s_L(t)$ 是以 $T_m=1/f_m$ 为周期的复周期信号，可展开为复指数傅里叶级数：

s_L(t) = ∑ₙ=-∞^∞ Jₙ(β_f)e^(j2π n fₘ t) (4.3.11)$$s_L(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathrm{J}}_n({\beta }_f){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi n{f}_{m}t}\text{\hspace{1em}(4.3.11)}$$

其中 ${\mathrm{J}}_n({\beta }_f)$ 为第一类 $n$ 阶贝塞尔函数（Bessel Function of the First Kind）。相应的功率谱密度为：

Pₛ_L(f) = ∑ₙ=-∞^∞ Jₙ²(β_f)δ(f - n fₘ) (4.3.12)$$P_{s_L}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\mathrm{J}}_n^2({\beta }_f)\delta (f-n{f}_m)\text{\hspace{1em}(4.3.12)}$$

式 (4.3.12) 表明，单音调频信号由载频 $f_c$ 以及对称分布在两边无穷多对间隔为 $f_m$ 的离散边频分量构成。因此，FM 信号的理论频谱带宽是无穷大。

图 4.3.3 给出了 $f_m=200\text{ Hz},{\beta }_f=3$ 时的功率谱密度图。从图中可以看到，尽管数学上有无穷项，但当 $|n|>{\beta }_f+1$ 时，贝塞尔函数 ${\mathrm{J}}_n({\beta }_f)$ 的幅值迅速衰减。在 $1600\text{ Hz}$ 频带范围内集中的功率已占总功率的 99.6% 以上。

图 4.3.3 单音调频信号复包络的功率谱密度示例（原书影印参考）

2. 卡松公式（Carson’s Rule）

对于任意多频或连续模拟基带信号 $m(t)$，研究表明其大部分能量集中在载频附近的一定范围内，有效传输带宽可由工程著名的**卡松公式（Carson’s Rule）**估计：

FM 信号带宽的卡松公式（Carson's Rule）

B ≈ 2(β_f + 1)W = 2(Δ f_(max) + W) (4.3.13)$$B\approx 2({\beta }_f+1)W=2(\Delta f_{\max }+W)\text{\hspace{1em}(4.3.13)}$$

其中：

• $W$ 是模拟基带信号的最高截止频率；
• $\Delta f_{\max }=K_f\max |m(t)|$ 是最大瞬时频偏；
• ${\beta }_f=\frac{\Delta f_{\max }}{W}$ 是调频指数。

复合多音 FM 信号的频偏与卡松带宽估计

已知某 FM 信号为：

s(t) = cos[2π f_c t + 4sin(100π t) + 2.5sin(160π t) + sin(200π t)]$$s(t)=\cos [2\pi f_{c}t+4\sin (100\pi t)+2.5\sin (160\pi t)+\sin (200\pi t)]$$

试求：(1) 瞬时频偏表达式与最大频偏；(2) 基带信号的最高频率与调频指数；(3) 卡松带宽。

解

(1) 瞬时相位偏移为：

θ(t) = 4sin(100π t) + 2.5sin(160π t) + sin(200π t)$$\theta (t)=4\sin (100\pi t)+2.5\sin (160\pi t)+\sin (200\pi t)$$

瞬时频偏为相位的微分除以 $2\pi$：

Δ f(t) = (1)/(2π)θ'(t) = 200cos(100π t) + 200cos(160π t) + 100cos(200π t) (Hz)$$\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi }{\theta }^{\prime }(t)=200\cos (100\pi t)+200\cos (160\pi t)+100\cos (200\pi t)\text{ (Hz)}$$

因此最大瞬时频偏为各余弦幅度之和：

Δ f_(max) = 200 + 200 + 100 = 500 Hz$$\Delta f_{\max }=200+200+100=500\text{ Hz}$$

(2) 相位中所含最高角频率为 $200\pi \text{ rad/s}$，对应的基带信号最高频率为：

W = (200π)/(2π) = 100 Hz$$W=\frac{200\pi }{2\pi }=100\text{ Hz}$$

调频指数为：

β_f = fracΔ f_(max)W = (500)/(100) = 5$${\beta }_f=\frac{\Delta f_{\max }}{W}=\frac{500}{100}=5$$

(3) 由卡松公式计算有效带宽：

B ≈ 2(β_f + 1)W = 2 × (5 + 1) × 100 = 1 200 Hz$$B\approx 2({\beta }_f+1)W=2\times (5+1)\times 100=1200\text{ Hz}$$

3. 窄带调频（NBFM）

当调频指数 ${\beta }_f\ll 1$ 时，瞬时相位偏移量非常微弱（$|\theta (t)|\ll 1$），称为窄带调频（Narrowband Frequency Modulation, NBFM）。

此时复包络可作一阶泰勒近似展开：

s_L(t) = A_ce^(jθ(t)) = A_c[cosθ(t) + jsinθ(t)] ≈ A_c[1 + jθ(t)]$$s_L(t)=A_c{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta (t)}=A_c[\cos \theta (t)+\mathrm{j}\sin \theta (t)]\approx A_c[1+\mathrm{j}\theta (t)]$$

相应的已调实信号为：

s(t) = operatornameRe{s_L(t)e^(j2π f_c t)} ≈ A_ccos(2π f_c t) - A_cθ(t)sin(2π f_c t) (4.3.14)$$s(t)=\mathrm{Re}\{s_L(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}\}\approx A_c\cos (2\pi f_{c}t)-A_c\theta (t)\sin (2\pi f_{c}t)\text{\hspace{1em}(4.3.14)}$$

其中 $\theta (t)=2\pi K_f{\int }_{-\infty }^{t}m(\tau )\mathrm{d}\tau$。上式表明：窄带调频信号可近似分解为正交载波与一个 $Q$ 路 DSB-SC 信号的线性叠加。其带宽与 DSB 相同：

B_(NBFM) ≈ 2W$$B_{\text{NBFM}}\approx 2W$$

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4.3.3 FM 调制与解调的实现

1. FM 调制

• 直接调频法： 直接使用压控振荡器（VCO），让基带信号 $m(t)$ 直接控制振荡器回路的变容二极管电容，使振荡瞬时频率随 $m(t)$ 线性改变（图 4.3.4($a$)）。优点是频偏大、电路简单；缺点是中心频率易受温度和器件老化影响而产生漂移。
• 间接调频法（阿姆斯特朗法）： 先利用高稳定度的石英晶体振荡器生成晶振载波，按式 (4.3.14) 产生微弱的窄带调频信号（${\beta }_{f1}\ll 1$），然后通过多级**倍频器（Frequency Multiplier）**将载频与调频指数同时放大 $n$ 倍（图 4.3.4($b$)）：

f_c' = n f_c, β_f' = nβ_f$$f_c^{\prime }=n{f}_c,{\beta }_f^{\prime }=n{\beta }_f$$

最后通过混频器（超外差上变频）搬移到最终发射频段。

flowchart LR
    subgraph 直接调频["(a) 直接调频"]
        m1["$$m(t)$$"] --> vco["压控振荡器 (VCO)"] --> s1["$$s(t)$$"]
    end

    subgraph 间接调频["(b) 间接调频 (阿姆斯特朗法)"]
        m2["$$m(t)$$"] --> nbfm["窄带调频器 (NBFM)\n(高稳定度晶振)"]
        nbfm -->|"$$\\beta_{f1} \\ll 1$$"| mult["$$n$$ 倍频器"]
        mult -->|"$$\\beta_f = n\\beta_{f1}$$"| mixer["上变频混频器"] --> s2["$$s(t)$$"]
    end

图 4.3.4 FM 调制（原书影印参考）

2. FM 解调（鉴频器）

FM 解调器称为鉴频器（Frequency Discriminator），典型实现方法包括：

• 微分包络检波法： 先通过微分网络将瞬时频率变化转换为包络振幅变化，再用包络检波器检测出基带信号（图 4.3.5($a$)）。将式 (4.3.4) 送入理想微分器：

v(t) = fracds_(FM)(t)dt = -A_c[2π f_c + 2π K_f m(t)]sin[2π f_c t + 2π K_f∫ m(τ) dτ] (4.3.17)$$v(t)=\frac{\mathrm{d}{s}_{\text{FM}}(t)}{\mathrm{d}t}=-A_c[2\pi f_c+2\pi K_{f}m(t)]\sin \left[2\pi f_{c}t+2\pi K_f\int m(\tau )\mathrm{d}\tau \right]\text{\hspace{1em}(4.3.17)}$$

其包络为 $A_{c}2\pi [f_c+K_{f}m(t)]$。经包络检波并隔去直流分量后，直接输出正比于 $m(t)$ 的解调信号。

• 锁相鉴频法： 利用锁相环（PLL）跟踪 FM 信号的瞬时频率变化（图 4.3.5($b$)）。环路锁定时，VCO 的控制电压 $v(t)$ 必须实时跟踪输入信号的频偏，因此 VCO 的控制电压直接就是解调后的基带输出：

yₒ(t) = v(t) propto m(t) (4.3.18)$$y_o(t)=v(t)\propto m(t)\text{\hspace{1em}(4.3.18)}$$

锁相鉴频具有极优良的门限扩展性能，能显著抑制低信噪比下的脉冲噪声。

flowchart LR
    subgraph 微分法["(a) 微分包络检波法"]
        s1["$$s(t)$$"] --> diff["微分网络\n$$\\mathrm{d}/\\mathrm{d}t$$"]
        diff --> ed["包络检波器"]
        ed --> dc["隔直电路"] --> out1["$$y_o(t) \\propto m(t)$$"]
    end

    subgraph 锁相法["(b) 锁相鉴频法"]
        s2["$$s(t)$$"] --> pd["鉴相器 (PD)"]
        pd --> lf["环路滤波器 (LF)"]
        lf --> out2["$$y_o(t) \\approx m(t)$$"]
        out2 --> vco["本地 VCO"] --> pd
    end

图 4.3.5 FM 解调（原书影印参考）

3. 数字化实现

现代无线电全面采用数字信号处理（DSP）与软件无线电架构。如图 4.3.6 所示，基带信号 $m(t)$ 经 ADC 采样后，直接由数字处理器实时计算复包络样值 $s_L[n]=A_c{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta [n]}$，通过数字 I/Q 调制送入 DAC 产生模拟射频输出；接收端则经高速 ADC 数字正交下变频后，在数字域直接通过反正切相位求导算法提取 $m(t)$。

图 4.3.6 FM 调制解调的数字化实现（原书影印参考）