3.6 匹配滤波器

噪声是制约通信的根本因素，滤波器是对抗噪声的基础手段。模拟通信系统主要用低通或带通滤波器来滤除带外噪声。数字通信系统常采用匹配滤波器（Matched Filter）来最大化采样点的输出信噪比。

3.6.1 最佳接收问题

考虑如下图所示的接收滤波模型。能量为 $E_s$ 的确定实信号 $s(t)$ 通过 AWGN 信道传输，接收信号为：

r(t) = s(t) + n_w(t)$$r(t)=s(t)+n_w(t)$$

其中 $n_w(t)$ 的双边功率谱密度为 $N_0/2$。为了抑制噪声，接收端将 $r(t)$ 通过一个冲激响应为 $h(t)$ 的线性滤波器，并在 $t_0$ 时刻对滤波器输出信号进行采样得到样值 $y(t_0)$。

flowchart LR
    s["$$s(t)$$"] --> add(("＋"))
    nw["$$n_w(t)$$"] --> add
    add -->|"$$r(t)$$"| filter["滤波器\n$$h(t)$$"]
    filter -->|"$$y(t)$$"| sampler["采样开关\n$$t = t_0$$"]
    sampler --> out["$$y(t_0)$$"]

图 3.6.1 匹配滤波器系统模型

采样值是 $r(t)$ 与 $h(t)$ 的卷积结果在 $t_0$ 时刻的值：

y(t₀) &= ∫_(-∞)^∞ [s(τ) + n_w(τ)]h(t₀ - τ) dτ &= ∫_(-∞)^∞ s(τ)h(t₀ - τ) dτ + ∫_(-∞)^∞ n_w(τ)h(t₀ - τ) dτ &= s₀ + Z (3.6.1)$$\begin{array}{rl}y(t_0)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }[s(\tau )+n_w(\tau )]h(t_0-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }s(\tau )h(t_0-\tau )\mathrm{d}\tau +{\int }_{-\infty }^{\infty }{n}_w(\tau )h(t_0-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =s_0+Z\end{array}\text{\hspace{1em}(3.6.1)}$$

其中：

• $s_0$ 是信号成分形成的输出： s₀ = ∫_(-∞)^∞ s(t)h(t₀ - t) dt = ∫_(-∞)^∞ h(t)s(t₀ - t) dt (3.6.2)$$s_0={\int }_{-\infty }^{\infty }s(t)h(t_0-t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)s(t_0-t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3.6.2)}$$ $s(t)$ 是确定信号，故 $s_0$ 是确定值，采样点有用信号功率为 $s_0^2$。
• $Z$ 是噪声成分形成的输出： Z = ∫_(-∞)^∞ n_w(t)h(t₀ - t) dt (3.6.3)$$Z={\int }_{-\infty }^{\infty }{n}_w(t)h(t_0-t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3.6.3)}$$ $Z$ 是 $n_w(t)$ 与 $h(t_0-t)$ 的内积，为零均值高斯随机变量，噪声功率为 $\mathbb{E}[Z^2]=\frac{N_0}{2}{E}_h$，其中 $E_h$ 是 $h(t)$ 的能量。

采样时刻的输出信噪比可以表示为：

γ = fracs₀²mathbbE[Z²] = (2)/(N₀ Eₕ)|∫_(-∞)^∞ h(t)s(t₀ - t) dt|² (3.6.4)$$\gamma =\frac{s_0^2}{\mathbb{E}[Z^2]}=\frac{2}{N_0{E}_h}{\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)s(t_0-t)\mathrm{d}t\right|}^2\text{\hspace{1em}(3.6.4)}$$

不同的滤波器冲激响应 $h(t)$ 设计会有不同的信噪比 $\gamma$。我们的核心目标是：设计最优的 $h(t)$，使得采样时刻 $t_0$ 的瞬时信噪比 $\gamma$ 最大。

3.6.2 匹配滤波器设计

式 (3.6.4) 可以改写为内积的归一化形式：

γ = (2Eₛ)/(N₀)|∫_(-∞)^∞ (h(t))/(√(Eₕ)) (s(t₀ - t))/(√(Eₛ)) dt|² (3.6.5)$$\gamma =\frac{2E_s}{N_0}{\left|{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{h(t)}{\sqrt{E_h}}\frac{s(t_0-t)}{\sqrt{E_s}}\mathrm{d}t\right|}^2\text{\hspace{1em}(3.6.5)}$$

右边的积分是波形 $h(t)$ 与波形 $s(t_0-t)$ 的归一化相关系数。根据柯西-许瓦兹不等式，相关系数的绝对值最大为 1，且当且仅当两个信号波形形状成正比时取得最大值。因此，能使采样时刻信噪比最大的最优滤波器设计为：

匹配滤波器的时域与频域特性

使采样时刻信噪比最大的滤波器冲激响应为：

h(t) = K · s(t₀ - t) (3.6.6)$$h(t)=K\cdot s(t_0-t)\text{\hspace{1em}(3.6.6)}$$

其中 $K$ 是任意非零常数。称这样的滤波器为对信号 $s(t)$ 匹配的匹配滤波器（Matched Filter, MF）。

1. 时域镜像与平移：匹配滤波器的冲激响应 $h(t)$ 是原信号波形关于时间原点做镜像反转后，再向右平移 $t_0$ 时延。
2. 最大输出信噪比：代入最优条件后，匹配滤波器输出端的最大信噪比为：

γ_(max) = (2Eₛ)/(N₀) (3.6.7)$${\gamma }_{\max }=\frac{2E_s}{N_0}\text{\hspace{1em}(3.6.7)}$$

最大信噪比只取决于接收信号的总能量 $E_s$ 和噪声功率谱密度 $N_0$，而与信号的具体时域波形形状完全无关！

3. 频域传递函数：对式 (3.6.6) 做傅氏变换，匹配滤波器的传递函数为原信号频谱的复共轭：

H(f) = K · S^*(f)e⁻j2π f t₀ (3.6.8)$$H(f)=K\cdot S^{\ast }(f){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f{t}_0}\text{\hspace{1em}(3.6.8)}$$

• 系数 $K$ 会影响 $h(t)$ 的能量，但不影响归一化相关系数，因此匹配滤波器在 $t_0$ 时刻的信噪比与 $K$ 无关，通常取 $K=1$；
• $s(t_0-t)$ 是 $s(-t)$ 延迟 $t_0$。若考虑物理因果性（要求 $t<0$ 时 $h(t)=0$），对于持续时间为 $T$ 的信号（$t\in [0,T]$），只要选取抽样时刻 $t_0\ge T$，即可保证匹配滤波器满足因果可实现性。

三角脉冲信号的匹配滤波器设计

设输入基带脉冲信号为斜坡信号：

g(t) = (A t)/(T), & 0 ≤ t ≤ T 0, & 其他$$g(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{At}{T},& 0\le t\le T\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

求其因果匹配滤波器的冲激响应、最佳抽样时刻及输出最大信噪比。

查看解析与步骤

如图 ($a$) 所示为信号 $g(t)$。先将时间轴镜像反转得到图 ($b$) 所示的 $g(-t)$，然后向右平移得到图 ($c$) 所示的 $g(t_0-t)$。

考虑因果性要求，可选取最佳采样时刻为脉冲结束时刻 $t_0=T$，此时因果匹配滤波器的冲激响应为：

h(t) = g(T - t) = (A(T - t))/(T), 0 ≤ t ≤ T$$h(t)=g(T-t)=\frac{A(T-t)}{T},0\le t\le T$$

脉冲信号的能量为：

E_g = ∫₀^T ((A t)/(T))² dt = (A² T)/(3)$$E_g={\int }_0^T{\left(\frac{At}{T}\right)}^2\mathrm{d}t=\frac{A^{2}T}{3}$$

在最佳采样时刻 $t_0=T$ 处，输出端的最大信噪比为：

γ_(max) = (2E_g)/(N₀) = (2A² T)/(3N₀)$${\gamma }_{\max }=\frac{2E_g}{N_0}=\frac{2A^{2}T}{3N_0}$$

图 3.6.2 匹配滤波器冲激响应构造示例

3.6.3 相关器与匹配滤波器的等价性

将匹配滤波器的冲激响应 $h(t)=s(t_0-t)$ 代入卷积采样值计算式 (3.6.1)：

y(t₀) = ∫_(-∞)^∞ r(τ)h(t₀ - τ) dτ = ∫_(-∞)^∞ r(τ)s(τ) dτ (3.6.9)$$y(t_0)={\int }_{-\infty }^{\infty }r(\tau )h(t_0-\tau )\mathrm{d}\tau ={\int }_{-\infty }^{\infty }r(\tau )s(\tau )\mathrm{d}\tau \text{\hspace{1em}(3.6.9)}$$

这揭示了一个极为重要的物理事实：匹配滤波器在最佳采样时刻 $t_0$ 的输出值，在数学上完全等价于接收信号 $r(t)$ 与本地参考信号 $s(t)$ 的互相关积分（内积）！

flowchart LR
    s["$$s(t)$$"] --> add(("＋"))
    nw["$$n_w(t)$$"] --> add
    add -->|"$$r(t)$$"| mult(("×"))
    subgraph 相关接收机["相关接收机 (Correlator Receiver)"]
        mult
        ref["本地参考\n$$s(t)$$"] --> mult
        mult --> int["积分器\n$$\\int_{-\\infty}^{\\infty} (\\cdot)\\,\\mathrm{d}t$$"]
    end
    int --> out["$$y(t_0)$$"]

图 3.6.3 相关接收机等效结构

因此，在数字通信最佳接收机实现中，既可以采用匹配滤波器结构（输入连续卷积后在 $t_0$ 时刻瞬时采样），也可以采用相关接收机结构（本地波形相乘后在 $[0,T]$ 积分），两者在最佳判决时刻的信噪比和判决性能完全一致。

3.6.4 复信号的匹配滤波器

对于复数信号（如等效基带信号或雷达复包络），式 (3.6.4) 中的内积是复内积。为使采样点信噪比最大，冲激响应在时间反褶的同时还必须取复共轭：

h(t) = K · s^*(t₀ - t) (3.6.10)$$h(t)=K\cdot s^{\ast }(t_0-t)\text{\hspace{1em}(3.6.10)}$$

若取 $K=1,t_0=0$，则对复信号 $s(t)$ 匹配的匹配滤波器冲激响应为 $h(t)=s^{\ast }(-t)$，对应的频域传递函数仍为：

H(f) = K · S^*(f)e⁻j2π f t₀$$H(f)=K\cdot S^{\ast }(f){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f{t}_0}$$

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第3章 随机过程 课后习题与自测