3.4 复随机过程

3.4.1 复随机变量

1. 复随机变量的定义

复随机变量 $Z(e)$ 是从样本 $e$ 到复数的映射。复数由两个实数构成，复随机变量也由两个实随机变量构成：

Z = X + jY$$Z=X+\mathrm{j}Y$$

其中 $X=\mathrm{Re}\{Z\},Y=\mathrm{Im}\{Z\}$ 分别是 $Z$ 的实部和虚部。复随机变量的概率密度 $p_Z(z)$ 就是实部、虚部这两个实随机变量的联合概率密度 $p_{X,Y}(x,y)$。

2. 数字特征

复随机变量的数字特征与实随机变量类似，差别主要在涉及共轭的地方：

1. 数学期望：是实部和虚部分别做数学期望：

   mathbbE[Z] = mathbbE[X] + jmathbbE[Y] (3.4.1)$$\mathbb{E}[Z]=\mathbb{E}[X]+\mathrm{j}\mathbb{E}[Y]\text{\hspace{1em}(3.4.1)}$$

   共轭后的数学期望是数学期望的共轭：

   mathbbE[Z^*] = mathbbE[X] - jmathbbE[Y] = (mathbbE[Z])^* (3.4.2)$$\mathbb{E}[Z^{\ast }]=\mathbb{E}[X]-\mathrm{j}\mathbb{E}[Y]=(\mathbb{E}[Z]{)}^{\ast }\text{\hspace{1em}(3.4.2)}$$

2. 内积（相关）：类似于复信号的内积，两个复随机变量 $Z_1,Z_2$ 的内积定义为共轭乘积的数学期望：

   langle Z₁, Z₂ rangle = mathbbE[Z₁ Z₂^*] (3.4.3)$$⟨Z_1,Z_2⟩=\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]\text{\hspace{1em}(3.4.3)}$$

   一般称上式为 $Z_1,Z_2$ 的相关。实随机变量内积是上式的特例。

3. 平均功率与许瓦兹不等式：如果复随机变量 $Z$ 的实部 $X$、虚部 $Y$ 代表电压，可称 $Z$ 为复电压。$Z$ 的瞬时功率是 $X^2+Y^2=|Z{|}^2$，平均功率为 $\mathbb{E}[|Z{|}^2]=\mathbb{E}[Z{Z}^{\ast }]$，即平均功率是 $Z$ 与其自身的内积。若 $Z_1,Z_2$ 均为电压信号，则其内积就是平均互功率。 复随机变量内积满足许瓦兹不等式：

   |mathbbE[Z₁ Z₂^*]| ≤ sqrtmathbbE[|Z₁|²] · mathbbE[|Z₂|²] (3.4.4)$$|\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]|\le \sqrt{\mathbb{E}[|Z_1{|}^2]\cdot \mathbb{E}[|Z_2{|}^2]}\text{\hspace{1em}(3.4.4)}$$

   即互功率的模值不超过自功率的几何平均。

4. 协方差与方差：两个复随机变量 $Z_1,Z_2$ 扣除均值后的内积是协方差：

   Cov(Z₁, Z₂) = mathbbE[(Z₁ - mathbbE[Z₁])(Z₂ - mathbbE[Z₂])^*] = mathbbE[Z₁ Z₂^*] - mathbbE[Z₁]mathbbE[Z₂^*] (3.4.5)$$\mathrm{Cov}(Z_1,Z_2)=\mathbb{E}\left[\right(Z_1-\mathbb{E}[Z_1]\left)\right(Z_2-\mathbb{E}[Z_2]{)}^{\ast }]=\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]-\mathbb{E}[Z_1]\mathbb{E}[Z_2^{\ast }]\text{\hspace{1em}(3.4.5)}$$

   若 $Z_1=Z_2=Z$，则协方差变成方差：

   σ_Z² = mathbbE[|Z - mathbbE[Z]|²] = mathbbE[|Z|²] - |mathbbE[Z]|² (3.4.6)$${\sigma }_Z^2=\mathbb{E}[|Z-\mathbb{E}[Z]{|}^2]=\mathbb{E}[|Z{|}^2]-|\mathbb{E}[Z]{|}^2\text{\hspace{1em}(3.4.6)}$$

说明（伪协方差）：若 $Z_1,Z_2$ 是零均值实随机变量，则 $\mathbb{E}[Z_1{Z}_2]$ 与 $\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]$ 相等，都是协方差。但若 $Z_1,Z_2$ 是零均值复随机变量，则 $\mathbb{E}[Z_1{Z}_2]$ 与 $\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]$ 并不相等，$\mathbb{E}[Z_1{Z}_2^{\ast }]$ 是协方差，$\mathbb{E}[Z_1{Z}_2]=\mathbb{E}[Z_1(Z_2^{\ast }{)}^{\ast }]$ 是 $Z_1$ 与 $Z_2^{\ast }$ 的协方差，对 $Z_1,Z_2$ 来说叫伪协方差（Pseudo-covariance）或共轭相关值。若 $Z$ 是零均值复随机变量，$\mathbb{E}[|Z{|}^2]$ 是方差，$\mathbb{E}[Z^2]$ 是 $Z$ 与其共轭 $Z^{\ast }$ 的互相关，叫伪方差。

3. 圆对称复随机变量

圆对称复随机变量（Circularly Symmetric Complex RV）

将复随机变量 $Z$ 相位旋转 $\phi$ 后得到 $Z^{\prime }=Z{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }$。若对任意确定的 $\phi$，$Z$ 与 $Z^{\prime }$ 的概率分布完全相同，即：

p_Z(z) = p_Z(ze^(jφ))$$p_Z(z)=p_Z\left(z{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }\right)$$

则称 $Z$ 为圆对称复随机变量（Circularly Symmetric Complex Random Variable）或循环对称复随机变量。

圆对称复随机变量具有以下核心特性：

1. 概率密度函数圆对称：$p_Z(z)=p_Z(|z|)$，概率密度等高线是以原点为中心的同心圆。
2. 相位均匀分布且与幅度独立：相位 $\theta =\angle Z$ 在 $[0,2\pi ]$ 上均匀分布，且与模值 $|Z|$ 相互独立。
3. 均值为零：$\mathbb{E}[Z]=\mathbb{E}[Z{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }]={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }\mathbb{E}[Z]⟹\mathbb{E}[Z]=0$。
4. 与共轭不相关（伪方差为零）：$\mathbb{E}[Z^2]=\mathbb{E}[(Z{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }{)}^2]={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\phi }\mathbb{E}[Z^2]⟹\mathbb{E}[Z^2]=0$。
5. 实部与虚部互不相关且同分布：设 $Z=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }$，其实部 $X=A\cos \theta$，虚部 $Y=A\sin \theta$： mathbbE[XY] = mathbbE[1/2A² sin(2θ)] = 0$$\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}\left[\frac{1}{2}{A}^2\sin (2\theta )\right]=0$$ 因此 $X,Y$ 不相关且同分布，方差各占复随机变量方差的一半：${\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2=\frac{1}{2}{\sigma }_Z^2$。

高斯复随机变量的等高线形状

设有复随机变量 $Z=X+\mathrm{j}Y$，其实部 $X$ 与虚部 $Y$ 的联合概率密度函数为二维高斯分布：

p_(XY)(x,y) = (1)/(2πσ₁σ₂√(1-ρ²))exp{-(1)/(2(1-ρ²))((x²)/(σ₁²) - (2ρ xy)/(σ₁σ₂) + (y²)/(σ₂²))} (3.4.7)$$p_{XY}(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left(\frac{x^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho xy}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{y^2}{{\sigma }_2^2}\right)\right\}\text{\hspace{1em}(3.4.7)}$$

• 当 ${\sigma }_1={\sigma }_2=1,\rho =0$ 时，其等高线 $p_{XY}(x,y)=c$ 对应 $x^2+y^2=\text{常数}$，等高线是同心圆，对应圆对称复随机变量；
• 当 ${\sigma }_1^2=\frac{1}{2},{\sigma }_2^2=2,\rho =0$ 时，等高线是主轴与坐标轴重合的椭圆；
• 当 ${\sigma }_1={\sigma }_2=1,\rho =\frac{1}{2}$ 时，等高线是倾斜的椭圆。

图 3.4.1 概率密度函数的等高线图

3.4.2 复随机过程

1. 复随机过程定义与相关函数

复随机过程 $Z(e,t)$ 是从样本 $e$ 到复信号的映射。给定 $e$ 时，$Z(e,t)$ 是确定复信号；给定 $t$ 时，$Z(e,t)$ 是复随机变量。

• 自相关函数： R_Z(t₁, t₂) = mathbbE[Z(t₁)Z^*(t₂)] (3.4.8)$$R_Z(t_1,t_2)=\mathbb{E}[Z(t_1)Z^{\ast }(t_2)]\text{\hspace{1em}(3.4.8)}$$
• 互相关函数： R_(Z₁ Z₂(t₁, t₂) = mathbbE)[Z₁(t₁)Z₂^*(t₂)] (3.4.9)$$R_{Z_1{Z}_2}(t_1,t_2)=\mathbb{E}[Z_1(t_1)Z_2^{\ast }(t_2)]\text{\hspace{1em}(3.4.9)}$$
• 共轭相关函数： R_(ZZ^*)(t₁, t₂) = mathbbE[Z(t₁)Z(t₂)] (3.4.10)$$R_{Z{Z}^{\ast }}(t_1,t_2)=\mathbb{E}[Z(t_1)Z(t_2)]\text{\hspace{1em}(3.4.10)}$$

2. 复平稳过程

复随机过程 $Z(t)=X(t)+\mathrm{j}Y(t)$ 由实部 $X(t)$ 和虚部 $Y(t)$ 两个实随机过程组成。若 $X(t)$ 与 $Y(t)$ 联合平稳，则称 $Z(t)$ 为复平稳过程。具体来说，$Z(t)$ 复平稳意味着以下 5 个实数学期望均与绝对时间 $t$ 无关：

mathbbE[X(t)] &= m_X mathbbE[Y(t)] &= m_Y mathbbE[X(t+τ)X(t)] &= R_X(τ) mathbbE[Y(t+τ)Y(t)] &= R_Y(τ) mathbbE[Y(t+τ)X(t)] &= R_(YX)(τ) (3.4.11)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X(t)]& =m_X\\ \mathbb{E}[Y(t)]& =m_Y\\ \mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]& =R_X(\tau )\\ \mathbb{E}[Y(t+\tau )Y(t)]& =R_Y(\tau )\\ \mathbb{E}[Y(t+\tau )X(t)]& =R_{YX}(\tau )\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.11)}$$

复平稳过程的充分必要条件

复随机过程 $Z(t)$ 平稳等价于以下 3 个复数学期望均与绝对时间 $t$ 无关：

mathbbE[Z(t)] &= m_Z mathbbE[Z(t+τ)Z^*(t)] &= R_Z(τ) mathbbE[Z(t+τ)Z(t)] &= R_(ZZ^*)(τ) (3.4.12)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Z(t)]& =m_Z\\ \mathbb{E}[Z(t+\tau )Z^{\ast }(t)]& =R_Z(\tau )\\ \mathbb{E}[Z(t+\tau )Z(t)]& =R_{Z{Z}^{\ast }}(\tau )\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.12)}$$

即 $Z(t)$ 的均值、自相关函数、共轭相关函数都与绝对时间 $t$ 无关。与实平稳过程相比，多出一个共轭相关函数与绝对时间无关的约束条件。

由式 (3.4.12) 可以导出，复平稳过程的自相关函数具有共轭对称性：

R_Z(τ) = R_Z^*(-τ) (3.4.18)$$R_Z(\tau )=R_Z^{\ast }(-\tau )\text{\hspace{1em}(3.4.18)}$$

共轭相关函数含时变项的非平稳反例

设 $Z(t)=m(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}$，其中 $m(t)$ 是自相关函数为 $R_m(\tau )$ 的零均值实平稳过程。试检验 $Z(t)$ 是否为复平稳过程。

查看解析与步骤

$Z(t)$ 的均值为：

mathbbE[Z(t)] = mathbbE[m(t)]e^(j2π f_c t) = 0$$\mathbb{E}[Z(t)]=\mathbb{E}[m(t)]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}=0$$

自相关函数为：

mathbbE[Z(t+τ)Z^*(t)] = mathbbE[m(t+τ)e^(j2π f_c(t+τ)) · m(t)e⁻j2π f_c t] = Rₘ(τ)e^(j2π f_c τ)$$\mathbb{E}[Z(t+\tau )Z^{\ast }(t)]=\mathbb{E}[m(t+\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_c(t+\tau )}\cdot m(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_{c}t}]=R_m(\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_c\tau }$$

均值和自相关函数确实与绝对时间 $t$ 无关。然而，共轭相关函数为：

mathbbE[Z(t+τ)Z(t)] &= mathbbE[m(t+τ)e^(j2π f_c(t+τ)) · m(t)e^(j2π f_c t)] &= Rₘ(τ)e^(j2π f_c(2t+τ)) (3.4.20)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Z(t+\tau )Z(t)]& =\mathbb{E}[m(t+\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_c(t+\tau )}\cdot m(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{c}t}]\\ & =R_m(\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_c(2t+\tau )}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.20)}$$

上式强烈依赖于绝对时间 $t$（包含 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}4\pi f_{c}t}$ 因子），因此 $Z(t)$ 不是复平稳过程。实际上，$Z(t)$ 的实部 $m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$ 与虚部 $m(t)\sin (2\pi f_{c}t)$ 都不是平稳过程，而是循环平稳过程。

3. 复平稳过程通过滤波器

设线性时不变滤波器的冲激响应为 $h(t)$，输入 $X(t)$ 是零均值复平稳过程，自相关函数为 $R_X(\tau )$，共轭相关函数为 $R_{X{X}^{\ast }}(\tau )$。

输出 $Y(t)$ 的均值为零，自相关函数与互相关函数分别为：

R_Y(τ) = iint_(-∞)^∞ h(u)h^*(v) R_X(τ + v - u) dudv (3.4.21)$$R_Y(\tau )={\iint }_{-\infty }^{\infty }h(u)h^{\ast }(v)R_X(\tau +v-u)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\text{\hspace{1em}(3.4.21)}$$ R_(XY)(τ) = ∫_(-∞)^∞ h^*(v) R_X(τ + v) dv (3.4.22)$$R_{XY}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{h}^{\ast }(v)R_X(\tau +v)\mathrm{d}v\text{\hspace{1em}(3.4.22)}$$

共轭相关函数为：

mathbbE[Y(t₁)Y(t₂)] = iint_(-∞)^∞ h(u)h(v) R_(XX^*)(t₁ - t₂ + v - u) dudv (3.4.23)$$\mathbb{E}[Y(t_1)Y(t_2)]={\iint }_{-\infty }^{\infty }h(u)h(v)R_{X{X}^{\ast }}(t_1-t_2+v-u)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\text{\hspace{1em}(3.4.23)}$$

以上结果证明：滤波器输出 $Y(t)$ 是复平稳过程且 $Y(t)$ 与 $X(t)$ 联合平稳。

3.4.3 带通随机信号

通信系统中实际发送的带通信号 $x(t)$ 是实信号，其等效基带分析涉及复信号。带通信号等效基带分析中的相关信号关系如下图所示：

flowchart LR
    x["$$x(t)$$"] --> add(("＋"))
    x --> hilbert["希尔伯特\n变换"]
    hilbert -->|"$$ \\hat{x}(t)$$"| mul_j(("× $$\\mathrm{j}$$"))
    mul_j --> add
    add -->|"$$z(t)$$"| mix(("×"))
    osc["$$\\mathrm{e}^{-\\mathrm{j}2\\pi f_c t}$$"] --> mix
    mix -->|"$$x_L(t)$$"| split{"分解"}
    split -->|"$$\\operatorname{Re}\\{\\cdot\\}$$"| xc["$$x_c(t)$$"]
    split -->|"$$\\operatorname{Im}\\{\\cdot\\}$$"| xs["$$x_s(t)$$"]

图 3.4.2 带通随机信号的解析信号与复包络分解

假设 $x(t)$ 是平稳带通信号，平稳说明均值是常数；带通信号是高频信号，不包含直流，因此 $\mathbb{E}[x(t)]=0$。从 $x(t)$ 到 $\hat{x}(t),z(t)$ 的过程是线性时不变系统，故 $\hat{x}(t)$ 是零均值平稳过程，$z(t)$ 是零均值复平稳过程。

1. 解析信号的统计特性

根据希尔伯特变换性质，$x(t)$ 与 $\hat{x}(t)$ 分别是解析信号 $z(t)$ 的实部与虚部。$z(t)$ 的自相关函数与共轭相关函数分别为：

R_z(τ) = mathbbE[z(t+τ)z^*(t)] = 2[Rₓ(τ) + jwidehatRₓ(τ)] (3.4.24)$$R_z(\tau )=\mathbb{E}[z(t+\tau )z^{\ast }(t)]=2[R_x(\tau )+\mathrm{j}{\hat{R}}_x(\tau )]\text{\hspace{1em}(3.4.24)}$$ R_(zz^*)(τ) = mathbbE[z(t+τ)z(t)] = 0 (3.4.25)$$R_{z{z}^{\ast }}(\tau )=\mathbb{E}[z(t+\tau )z(t)]=0\text{\hspace{1em}(3.4.25)}$$

式 (3.4.24) 中的 ${\hat{R}}_x(\tau )$ 是 $R_x(\tau )$ 的希尔伯特变换，$R_x(\tau )+\mathrm{j}{\hat{R}}_x(\tau )$ 是解析信号，其傅氏变换是 $R_x(\tau )$ 傅氏变换正频率部分的 2 倍。因此 $z(t)$ 的功率谱密度为单边谱：

P_z(f) = 4Pₓ(f), & f > 0 0, & f < 0 (3.4.26)$$P_z(f)=\{\begin{array}{ll}4P_x(f),& f>0\\ 0,& f<0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.26)}$$

2. 复包络的统计特性

复包络 $x_L(t)=z(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_{c}t}$ 的均值为零，其自相关函数与共轭相关函数分别为：

Rₓ_L(τ) = mathbbE[x_L(t+τ)x_L^*(t)] = R_z(τ)e⁻j2π f_c τ = 2[Rₓ(τ) + jwidehatRₓ(τ)]e⁻j2π f_c τ (3.4.27)$$R_{x_L}(\tau )=\mathbb{E}[x_L(t+\tau )x_L^{\ast }(t)]=R_z(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_c\tau }=2[R_x(\tau )+\mathrm{j}{\hat{R}}_x(\tau )]{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_c\tau }\text{\hspace{1em}(3.4.27)}$$ Rₓ_L x_L^*(τ) = mathbbE[x_L(t+τ)x_L(t)] = R_(zz^*)(τ)e⁻j2π f_c (2t+τ) = 0 (3.4.28)$$R_{x_L{x}_L^{\ast }}(\tau )=\mathbb{E}[x_L(t+\tau )x_L(t)]=R_{z{z}^{\ast }}(\tau ){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi f_c(2t+\tau )}=0\text{\hspace{1em}(3.4.28)}$$

结果均与 $t$ 无关，说明 $x_L(t)$ 是复平稳过程。

对式 (3.4.27) 做傅氏变换，得到 $x(t)$ 复包络的功率谱密度是 $x(t)$ 功率谱密度正频部分左移后的 4 倍：

Pₓ_L(f) = 4Pₓ(f + f_c), & |f| ≤ f_c 0, & 其他 f (3.4.29)$$P_{x_L}(f)=\{\begin{array}{ll}4P_x(f+f_c),& |f|\le f_c\\ 0,& \text{其他 }f\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.29)}$$

3. 同相分量与正交分量的统计特性

$x_L(t)$ 的均值为零，其实部 $x_c(t)$、虚部 $x_s(t)$ 均值也为零。$x_L(t)$ 平稳且共轭相关函数为零，代入复变量分解公式可得到 $x_c(t)$ 与 $x_s(t)$ 的自相关函数和互相关函数：

Rₓ_c(τ) = Rₓₛ(τ) = 1/2operatornameRe{Rₓ_L(τ)} = 1/4[Rₓ_L(τ) + Rₓ_L^*(τ)] (3.4.30)$$R_{x_c}(\tau )=R_{x_s}(\tau )=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\{R_{x_L}(\tau )\}=\frac{1}{4}[R_{x_L}(\tau )+R_{x_L}^{\ast }(\tau )]\text{\hspace{1em}(3.4.30)}$$ Rₓ_c xₛ(τ) = 1/2operatornameIm{Rₓ_L(τ)} = (1)/(4j)[Rₓ_L(τ) - Rₓ_L^*(τ)] (3.4.31)$$R_{x_c{x}_s}(\tau )=\frac{1}{2}\mathrm{Im}\{R_{x_L}(\tau )\}=\frac{1}{4\mathrm{j}}[R_{x_L}(\tau )-R_{x_L}^{\ast }(\tau )]\text{\hspace{1em}(3.4.31)}$$

式 (3.4.30) 说明：$x(t)$ 复包络自相关函数的实部的一半是同相分量/正交分量的自相关函数，虚部的一半是两者的互相关函数。

对式 (3.4.30) 两边做傅氏变换：

Pₓ_c(f) = Pₓₛ(f) = 1/4[Pₓ_L(f) + Pₓ_L(-f)] (3.4.32)$$P_{x_c}(f)=P_{x_s}(f)=\frac{1}{4}[P_{x_L}(f)+P_{x_L}(-f)]\text{\hspace{1em}(3.4.32)}$$

代入式 (3.4.29) 以及 $P_x(-f+f_c)=P_x(f-f_c)$，得到：

Pₓ_c(f) = Pₓₛ(f) = Pₓ(f + f_c) + Pₓ(f - f_c), & |f| ≤ f_c 0, & 其他 f (3.4.33)$$P_{x_c}(f)=P_{x_s}(f)=\{\begin{array}{ll}{P}_x(f+f_c)+P_x(f-f_c),& |f|\le f_c\\ 0,& \text{其他 }f\end{array}\text{\hspace{1em}(3.4.33)}$$

说明平稳带通信号同相/正交分量的功率谱密度等于带通功率谱密度正频部分左移、负频部分右移后叠加。

带通随机信号分解的三个经典性质

1. 同一时刻正交不相关：由于复信号自相关函数共轭对称，$\tau =0$ 时 $R_{x_L}(0)=R_{x_L}^{\ast }(0)$ 为纯实数，代入式 (3.4.31) 得： $R_{x_c{x}_s}(0)=0⟹\mathbb{E}[x_c(t)x_s(t)]=0$ 即同相分量与正交分量在同一时刻互不相关。
2. 包络功率倍增：将 $\tau =0$ 代入式 (3.4.27) 得： $R_{x_L}(0)=R_z(0)=2R_x(0)⟹P_{x_L}=P_z=2P_x$ 解析信号与复包络的平均功率相等，等于带通信号功率的 2 倍。
3. 同相与正交分量功率均分：将 $\tau =0$ 代入式 (3.4.30) 得： $R_{x_c}(0)=R_{x_s}(0)=\frac{1}{2}{R}_{x_L}(0)=R_x(0)⟹P_{x_c}=P_{x_s}=P_x$ 同相分量、正交分量各自的平均功率等于带通信号的平均功率。