3.1 随机信号

3.1.1 引言

某无线通信系统欲将话音信号 $m(t)$ 传输到远处。为此，系统的发端将 $m(t)$ 变成一个能通过天线发射的带通信号 $s(t)$，收端将天线收到的微弱信号放大，得到：

y(t) = s(t) + n(t) (3.1.1)$$y(t)=s(t)+n(t)\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$

其中 $n(t)$ 是噪声。收端从 $y(t)$ 中复原出话音信号，送入扬声器播放。

在系统的设计阶段，$m(t)$、$n(t)$ 等波形还没有产生（它们要等到系统投入使用后才会出现）。任意给定一个时刻 $t$，设计者不能明确给出函数 $m(t)$、$n(t)$ 的具体取值，其值具有不确定性、随机性，因此它们不是确定信号，而是随机信号。

系统的设计者只知道 $m(t)$ 是话音，$n(t)$ 是噪声，不知道话音和噪声的具体波形。令 ${\Omega }_m$ 和 ${\Omega }_n$ 分别表示全体话音波形及全体噪声波形的集合，则 $m(t)$ 来自 ${\Omega }_m$，$n(t)$ 来自 ${\Omega }_n$，该系统可以表示为下图所示结构。系统应能有效传输 ${\Omega }_m$ 中的话音，并能有效抵抗 ${\Omega }_n$ 中噪声的影响。设计者根据 ${\Omega }_m$ 和 ${\Omega }_n$ 中波形的整体特性来设计发端和收端的信号处理。

flowchart LR
    subgraph 发端["发端信号处理"]
        src["信息波形库\n$$\\Omega_m$$"] -->|"$$m(t)$$"| tx["发端信号处理"]
        tx -->|"$$s(t)$$"| add(("＋"))
    end
    
    subgraph 信道["信道加性干扰"]
        noise["噪声波形库\n$$\\Omega_n$$"] -->|"$$n(t)$$"| add
    end
    
    subgraph 收端["收端信号处理"]
        add -->|"$$y(t)$$"| rx["收端信号处理"]
        rx --> out["复原的信息"]
    end

图 3.1.1 通信中的随机信号

3.1.2 随机变量

通信中的随机信号在数学中就是随机过程。为了理解随机过程的概念，我们先回顾随机变量。在概率论中，随机变量定义为从样本空间 $\Omega$ 到实数的映射：

X = X(e), e ∈ Ω$$X=X(e),e\in \Omega$$

为了更好地理解这一点，我们来看一个随机试验的例子。

纸条抽样与随机变量

一个口袋里有很多纸条，伸手抽出一张，翻开一看，纸条上写着 3.14。

口袋就是样本空间，纸条就是样本 $e$，在纸条上写数，就是把样本映射到实数，这个映射就是随机变量。

将纸条映射到实数，写数不是唯一的方法，还可以是：纸条上写数学方程，抽到纸条后解方程，报出方程的解；把纸条放到天平上称重，得到一个数；纸条上是一个门牌号码，到这家，数家里有几只猫。总之，任何从样本到实数的映射，都是随机变量。

抽出纸条 $e$ 见到一个数 $x$，将其平方得到 $y=x^2$，再取对数得到 $z=\ln y$。$x,y,z$ 都是从抽出的这个纸条 $e$ 映射而来的，相应形成了随机变量 $X(e),Y(e),Z(e)$。这里的随机性体现在样本点的出现是随机的。一旦样本给定，结果就是确定的。

flowchart LR
    draw["随机抽样本"] -->|"$$e$$"| map["映射到实数"]
    map -->|"$$x = X(e)$$"| f1["$$y = x^2$$"]
    f1 -->|"$$y = Y(e)$$"| f2["$$z = \\ln y$$"]
    f2 -->|"$$z = Z(e)$$"| out["..."]

图 3.1.2 随机变量是样本到实数的映射

随机变量是一种映射，其记号 $X(e)$ 中的 $X$ 是映射的名称，如同 $\sin (x)$ 中的 $\sin$ 是函数名。大部分情况下，我们关注的不是纸条，而是纸条所决定的那个数，故常将 $X(e)$ 简记为 $X$，并把 $X$ 的全体可能取值作为样本空间。例如，若口袋中有两个纸条，分别写着 $-2$ 和 $+3$。从两张纸条 $e_1,e_2$ 中抽出了一个 $e\in \{e_1,e_2\}$，抽出的这个纸条决定了 $X(e)$ 是 $-2$ 还是 $+3$，进一步决定了 $Y(e)$ 是 $4$ 还是 $9$，$Z(e)$ 是 $2\ln 2$ 还是 $2\ln 3$。实际中，大家对随机变量的理解比较直接：从 ${\Omega }_X=\{-2,+3\}$ 中抽出了 $X$，从 ${\Omega }_Y=\{4,9\}$ 中抽出了 $Y$，从 ${\Omega }_Z=\{2\ln 2,2\ln 3\}$ 中抽出了 $Z$。

另外需要说明的是，概率论教材中一般用大写字母表示随机变量（映射），小写字母表示随机变量的具体实现（映射结果）。在本书中，大小写字母都可以用于表示随机变量。

3.1.3 随机过程

在数学中，随机过程有以下两种实质相同的定义：

随机过程的两种等价定义

定义1（确定函数族视角）：在随机试验中，设其样本空间为 $\Omega$，若对每一个 $e\in \Omega$，都对应一个确定函数 $X(e,t),t\in \mathcal{T}$，我们把全体 $e$ 所确定的函数族

{X(e,t), t ∈ mathcalT | e ∈ Ω}$$\{X(e,t),t\in \mathcal{T}\mid e\in \Omega \}$$

称为随机过程，函数族中的每个函数称为一个样本函数（Sample Function），或一条样本轨道。

定义2（随机变量族视角）：在随机试验中，对于每一个参数 $t\in \mathcal{T}$，都对应一个随机变量 $X(e,t),e\in \Omega$，全体依赖于 $t$ 的一族随机变量称为随机过程。

以上两个定义实质相同，均表示从 $e\in \Omega ,t\in \mathcal{T}$ 到实数的映射。$\Omega$ 是随机实验的样本空间，$\mathcal{T}$ 是样本函数的定义域。默认 $\mathcal{T}=(-\infty ,\infty )$，而当 $\mathcal{T}$ 为离散的时间点集合时，称为随机序列。随机过程 $X(e,t)$ 也可简记为 $X(t)$。

• 定义1 是信号的视角：表示随机试验的结果是确定波形（翻开纸条看见的不是数字，而是波形）。这使我们能够用第 2 章中确定信号分析的方法来研究随机过程。
• 定义2 是随机变量的视角：使我们可以用概率论的方法来研究随机过程。

简单随机过程二值信号

一探测器在时间区间 $[0,T_b]$ 内发出信号：

s₁(t) = cos(2π f₀ t) 或 s₂(t) = -cos(2π f₀ t)$$s_1(t)=\cos (2\pi f_{0}t)\text{或}{s}_2(t)=-\cos (2\pi f_{0}t)$$

以表示探测结果为 $e=1$ 或 $e=0$，其中 $e=1$ 表示环境中存在某种特定成分，$e=0$ 表示不存在。本例中，样本点 $e$ 是环境的状态，样本空间为 $e\in \{0,1\}$。探测器将 $e$ 映射为波形 $s(e,t)$。$e=1$ 时，$s(1,t)=s_1(t)$；$e=0$ 时，$s(0,t)=s_2(t)$。

图 3.1.3 简单随机过程示例

随机过程 $X(e,t)$ 的变量 $e$ 体现信号的随机性，变量 $t$ 反映信号随时间的变化：

• 给定 $e$，$X(e,t)$ 是确定信号——抽出了一个纸条，看到了一个明确的波形；
• 给定 $t$，$X(e,t)$ 是随机变量——指定了某个时刻，但没说是哪个纸条，因此数值不确定，有随机性。

下表总结了 $X(e,t)$ 的 4 种不同情况：

$e,t$	$X(e,t)$	随机性	物理本质
$e\in \Omega ,t\in (-\infty ,\infty )$	随机信号	随机	完整的随机过程族
$e$ 固定，$t\in (-\infty ,\infty )$	确定信号	非随机	某次试验的一条样本轨道
$e\in \Omega ,t$ 固定	随机变量	随机	某一特定时刻的随机截面
$e$ 固定，$t$ 固定	确定实数	非随机	某条轨道在特定时刻的确定取值

表 3.1.1 $X(e,t)$ 的不同情况

带通随机信号的同相/正交分量分解

信号采集单元对空中信号 $x(e,t)$ 进行采集。采集单元的输出是复数格式的复包络。每执行一次信号采集就是一次随机试验。对采集到的复包络分别取出实部、虚部、模值和角度，形成 4 个基带型的随机信号 $x_c(e,t)$、$x_s(e,t)$、$A(e,t)$、$\phi (e,t)$。略去代表样本的变量 $e$，则为 $x_c(t),x_s(t),A(t),\phi (t)$。

flowchart LR
    ant(("天线")) -->|"$$x(e,t)$$\n$$x(t)$$"| sdr["软件无线电\n信号采集"]
    sdr -->|"$$x_L(e,t)$$\n$$x_L(t)$$"| split{"分解"}
    split -->|"取角度"| p["$$\\varphi(e,t), \\varphi(t)$$"]
    split -->|"取模"| a["$$A(e,t), A(t)$$"]
    split -->|"取实部"| xc["$$x_c(e,t), x_c(t)$$"]
    split -->|"取虚部"| xs["$$x_s(e,t), x_s(t)$$"]

图 3.1.4 带通随机信号

3.1.4 随机序列

按前述定义，随机序列是随机过程 $X(e,t),t\in \mathcal{T}$ 的时间参数 $\mathcal{T}$ 为离散时间点集合时的特例，一般记为 $\{X_n(e)\}$，简记为 $\{X_n\}$。随机序列 $\{X_n(e)\}$ 是从样本空间 $\Omega$ 到实数序列的映射，如同翻开纸条看见的不是一个数字，而是一串数字。

随机序列可以是有限长序列，如 $\{X_1,X_2,\dots ,X_N\}$，此时也可称为随机向量，并记为：

X = (X₁, X₂, …, X_N)^T$$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_N{)}^T$$

对于无限长序列，$X_n$ 的下标可以是自然数 $n\in \{0,1,2,\dots \}$，也可以是整数 $n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$。

随机序列是时间离散的随机过程，可看成是时间连续随机过程 $X(t)$ 的采样。对于一组有限个或无限个时间点 $\{t_k\}$，令 $X_k=X(t_k)$ 表示 $X(t)$ 在 $t_k$ 时刻的采样，则 $\{X_k\}$ 是随机序列。

以上介绍的随机变量、随机过程、随机序列都是从样本出发的映射，差别只在映射到什么，也就是纸条上具体是什么：

• 纸条上是实数就是随机变量；
• 纸条上是信号波形就是随机过程；
• 纸条上是离散数组就是随机序列。

各种常见数学对象的映射关系归纳如下图所示：

flowchart LR
    omega["样本空间 $$\\Omega$$"] -->|抽样| e["抽出样本 $$e$$<br/>(随机性的源头)"]
    e --> m1["映射为实数"] --> r1["随机变量 $$X(e)$$"]
    e --> m2["映射为信号"] --> r2["随机过程 $$X(e,t)$$"]
    e --> m3["映射为序列"] --> r3["随机序列 $$\{X_n(e)\}$$"]
    e --> m4["映射为一对实数"] --> r4["一对随机变量 $$(X(e), Y(e))$$"]
    e --> m5["映射为复数"] --> r5["复随机变量 $$Z(e) = X(e) + \\mathrm{j}Y(e)$$"]
    e --> m6["映射为向量"] --> r6["随机向量 $$\\mathbf{X}(e)$$"]
    e --> m7["映射为复信号"] --> r7["复随机过程 $$Z(e,t) = X(e,t) + \\mathrm{j}Y(e,t)$$"]
    e --> m8["映射为矩阵"] --> r8["随机矩阵 $$\\mathbf{H}(e)$$"]

图 3.1.5 随机数学对象的映射统一视角