10.7 码分复用与码分多址

实际物理信道（如光纤、同轴电缆或无线射频频段）的信道容量通常远大于单路业务信号的信息速率。为了充分利用传输带宽，必须在同一物理信道中并行传送多路相互独立的信号，这一技术总称为信道复用（Multiplexing）与多址接入（Multiple Access）。

在传统体系中：

• **频分复用（FDM）**按频率坐标划分正交信道（频谱正交）；
• **时分复用（TDM）**按时间时隙划分正交信道（时域正交）；
• **码分复用（CDM）与码分多址（CDMA）则通过为不同信道分配相互正交或近似正交的特征码型波形（码域正交）**来区分多路信号。

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10.7.1 码分复用（CDM）的群信号与相关接收

设待传输的独立业务共有 $L$ 路。令 $m_n^{(k)}$ 为第 $k$ 路业务在第 $n$ 个符号周期的信息符号，符号间隔为 $T$。第 $k$ 路分配的归一化特征信号为 $c_k(t)$（定义在区间 $[0,T)$ 内），其基带发射信号为：

sₖ(t) = ∑ₙ=-∞^∞ mₙ^((k)) cₖ(t - nT)$$s_k(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{m}_n^{(k)}{c}_k(t-nT)$$

将 $L$ 路信号在发射端同相叠加相加，构成分配给单发射机的群信号（Composite Signal）：

s(t) = ∑ₖ=1^L sₖ(t) = ∑ₖ=1^L ∑ₙ=-∞^∞ mₙ^((k)) cₖ(t - nT)$$s(t)=\sum _{k=1}^L{s}_k(t)=\sum _{k=1}^L\sum _{n=-\infty }^{\infty }{m}_n^{(k)}{c}_k(t-nT)$$

定理：多路信号可分离的充要条件

在接收端能够从复合群信号 $s(t)$ 中无失真地独立分离出各路原始信号的充分必要条件是：多路特征信号集合 $\{c_k(t)\}$ 在符号区间 $[0,T)$ 内相互线性不相关。工程上为了彻底消除路际串扰，通常采用严格的正交化设计：

∫₀^T cᵢ(t) cⱼ(t) dt = A · δᵢj = A, & i = j 0, & i ≠ j$${\int }_0^T{c}_i(t)c_j(t)dt=A\cdot {\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}A,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

式中 $A$ 为常数。正交码分复用最常用的特征码是沃尔什（Walsh）正交码。

接收端采用与各路特征信号匹配的相关积分接收机拓扑：

在第 $n$ 个符号周期 $[(n-1)T,nT]$ 内，第 $k$ 路相关器的连续积分采样输出为：

yₖ(nT) = ∫_((n-1)T)ⁿT s(t) cₖ(t - (n-1)T) dt = ∑ᵢ=1^L mₙ^((i)) ∫₀^T cᵢ(t) cₖ(t) dt = A · mₙ^((k))$$y_k(nT)={\int }_{(n-1)T}^{nT}s(t)c_k(t-(n-1)T)dt=\sum _{i=1}^L{m}_n^{(i)}{\int }_0^T{c}_i(t)c_k(t)dt=A\cdot m_n^{(k)}$$

由于交叉路数积分为零，第 $k$ 路输出精确正比于该路原始符号，各路之间完全不存在路际串扰。

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10.7.2 沃尔什码相关特性的伪随机掩膜改善

正如 10.4 节所揭示，纯沃尔什正交码虽然在绝对同步时互相关严格为零，但其非零时差下的自相关与互相关副瓣非常大。在无线多径反射信道中，不同反射径之间会引发极其剧烈的符号间干扰与路际串扰。

为了攻克这一致命缺陷，工程上采用沃尔什码与长伪随机序列（$m$ 序列或 Gold 码）逐码片相乘的加扰掩膜方案（Scrambled Walsh Codes）：

设 $W_i(t)$ 和 $W_j(t)$ 为定义在 $[0,T)$ 内的两个双极性沃尔什函数，$a(t)$ 为一个周期同样为 $T$ 的双极性伪随机码波形（例如将双极性 $m$ 序列末尾补一个 $+1$ 得到的偶位序列）。构造复合新码波形：

bᵢ(t) = Wᵢ(t) · a(t), bⱼ(t) = Wⱼ(t) · a(t)$$b_i(t)=W_i(t)\cdot a(t),b_j(t)=W_j(t)\cdot a(t)$$

数学证明：正交性的严格保持

计算新码波形 $b_i(t)$ 与 $b_j(t)$ 在符号区间内的内积：

∫₀^T bᵢ(t) bⱼ(t) dt = ∫₀^T [ Wᵢ(t) a(t) ] [ Wⱼ(t) a(t) ] dt = ∫₀^T Wᵢ(t) Wⱼ(t) a²(t) dt$${\int }_0^T{b}_i(t)b_j(t)dt={\int }_0^T\left[W_i(t)a(t)\right]\left[W_j(t)a(t)\right]dt={\int }_0^T{W}_i(t)W_j(t)a^2(t)dt$$

因为双极性序列 $a(t)\in \{+1,-1\}$，在任意时刻恒有 $a^2(t)\equiv 1$！上式严格化为：

∫₀^T bᵢ(t) bⱼ(t) dt = ∫₀^T Wᵢ(t) Wⱼ(t) dt = T, & i = j 0, & i ≠ j$${\int }_0^T{b}_i(t)b_j(t)dt={\int }_0^T{W}_i(t)W_j(t)dt=\{\begin{array}{ll}T,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

证毕。复合加扰码不仅 100% 完美继承了沃尔什码在同步时的绝对正交性，而且其自相关与互相关函数完全受控于外层伪随机序列 $a(t)$，将所有非零时差的旁瓣电平压低至 $1/\sqrt{N}$ 数量级！

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10.7.3 直接序列码分多址（DS-CDMA）与软容量特性

当直扩技术应用于多用户多址接入时，为不同地理位置的各个用户分配相互独立的扩频码作为用户地址码，即构成直接序列码分多址（DS-CDMA）。

1. 软容量（Soft Capacity）与干扰受限体系

在传统的 FDMA 与 TDMA 系统中，系统的最大并发用户数受限于划分出的物理信道数（频带数或时隙数），存在绝对不可逾越的“硬容量（Hard Capacity）”门限。一旦信道被占满，新用户将被无情阻塞。

而在 DS-CDMA 系统中：

• 所有用户在完全相同的频段、完全相同的时间并发发射；
• 每一个正在通信的用户都会对其他所有用户产生等效的宽带白噪声干扰，干扰功率增量约为该用户信号功率的 $1/N$；
• 系统的容量并非取决于空闲信道数，而是完全取决于接收端所能容忍的总体干扰噪声门限（信干比 SIR 容限）。

当并发用户数逐渐增加时，各用户的误码率只是呈现渐进缓慢抬升，系统并不存在硬性截断点。这种特征被称为软容量（Soft Capacity），整个系统被称为干扰受限系统（Interference-Limited System）。

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2. 蜂窝网络上下行链路架构与功率控制

在现代蜂窝移动通信系统中，上下行链路采用了截然不同的正交与伪随机配合策略：

1. 下行链路（前向，基站 $\to$ 终端）：
   • 基站统一集中发射，各物理信道（导频、同步、寻呼、业务）天然保持绝对时钟同步；
   • 采用**掩膜改善的沃尔什码（OVSF 码）**作为正交信道化码，实现小区内信道间零串扰；外层乘上基站特有的伪随机序列（PN 偏置码）用于区分相邻不同基站；
2. 异步上行链路（反向，终端 $\to$ 基站）：
   • 各移动台空间散布且运动轨迹随机，其发射信号到达基站的时间无法做到码片级严格对准；
   • 采用具有尖锐自相关与稳定低互相关的**伪随机长码（Gold 码）**进行异步码分多址；
3. 远近效应（Near-Far Effect）与闭环功率控制：
   • 若距离基站较近的移动台以大功率发射，其未解扩的强信号将彻底淹没远端微弱移动台的解扩输出；
   • 因此，CDMA 系统必须强制部署毫秒级（如 800 Hz ~ 1500 Hz）高频闭环发射功率控制（Power Control），确保所有移动台到达基站天线口的接收功率严格一致，消灭远近效应。

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10.7 码分复用与码分多址 思考题与自测