9.7* 线性空间的同构

在 9.2 节中我们发现，任意一个 $n$ 维实线性空间都与 ${\mathbf{R}}^n$ 有完全相同的代数结构，${\mathbf{R}}^n$ 可以作为它的“几何与代数模型”。本节将讨论一般实线性空间之间这种“结构相同”的严格数学关系——同构。

一、线性映射与同构映射

定义 13 线性映射与同构映射

设 $V_1,V_2$ 为实线性空间。如果存在一个从 $V_1$ 到 $V_2$ 的对应法则 $f$，使得对任意 $\mathbf{\alpha }\in V_1$，有唯一的 $V_2$ 中的元素（记为 $f(\mathbf{\alpha })$）与之对应，而且 $f$ 满足：

(1) 对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V_1$，有

f(α + β) = f(α) + f(β);$$f(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=f(\mathbf{\alpha })+f(\mathbf{\beta });$$

(2) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V_1$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

f(λα) = λ f(α),$$f(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda f(\mathbf{\alpha }),$$

则称 $f$ 为实线性空间 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个线性映射。

若 $f$ 是一一对应（双射），则称 $f$ 为实线性空间 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同构映射，此时也称 $V_1$ 与 $V_2$ 同构。若 $V_1=V_2$，则称 $f$ 为 $V_1$ 的一个自同构。

例 22 矩阵转置诱导的同构

设 $V_1={\mathbf{R}}^{m\times n}$ 为全体 $m\times n$ 实矩阵，$V_2={\mathbf{R}}^{n\times m}$ 为全体 $n\times m$ 实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V_1,V_2$ 构成 $mn$ 维实线性空间。定义 $f:V_1\to V_2$ 如下：

f(A) = A^T, ∀ A ∈ V₁.$$f(\mathbf{A})={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}},\forall \mathbf{A}\in V_1.$$

验证 $f$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同构映射。

解

对任意 $\mathbf{A}\in V_1$，有唯一的 $f(\mathbf{A})={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\in V_2$ 与之对应。且对任意 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in V_1$，有

f(A + B) = (A + B)^T = A^T + B^T = f(A) + f(B);$$f(\mathbf{A}+\mathbf{B})=(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}=f(\mathbf{A})+f(\mathbf{B});$$

对任意 $\mathbf{A}\in V_1$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

f(λA) = (λA)^T = λA^T = λ f(A).$$f(\lambda \mathbf{A})=(\lambda \mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}=\lambda {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\lambda f(\mathbf{A}).$$

所以 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个线性映射。

很明显，矩阵转置运算存在唯一的逆运算（即再次转置），因此 $f$ 是一一对应。所以 $f$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同构映射。

例 23 矩阵空间与多项式空间的同构

设 $V_1={\mathbf{R}}^{2\times 2}$ 为全体二阶实矩阵，对于矩阵的加法与数乘运算，$V_1$ 构成四维线性空间。$V_2=\mathbf{R}[x{]}_4$ 为全体次数小于 $4$ 的实系数多项式，即

V₂ = {a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³ | aᵢ ∈ R, i = 0, 1, 2, 3}.$$V_2=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3\mid a_i\in \mathbf{R},i=0,1,2,3\}.$$

对于多项式的加法及数与多项式的乘法，$V_2$ 也是一个四维实线性空间。定义 $f:V_1\to V_2$ 如下：

f(A) = a₁1 + a₁2x + a₂1x² + a₂2x³, ∀ A = (aᵢj) ∈ V₁.$$f(\mathbf{A})=a_{11}+a_{12}x+a_{21}{x}^2+a_{22}{x}^3,\forall \mathbf{A}=(a_{ij})\in V_1.$$

验证 $f$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同构映射。

解

对任意 $\mathbf{A}=(a_{ij})\in V_1$，有唯一的 $f(\mathbf{A})\in V_2$ 与之对应，且对任意 $\mathbf{A}=(a_{ij}),\mathbf{B}=(b_{ij})\in V_1$，有

f(A + B) = (a₁1 + b₁1) + (a₁2 + b₁2)x + (a₂1 + b₂1)x² + (a₂2 + b₂2)x³ = f(A) + f(B);$$f(\mathbf{A}+\mathbf{B})=(a_{11}+b_{11})+(a_{12}+b_{12})x+(a_{21}+b_{21})x^2+(a_{22}+b_{22})x^3=f(\mathbf{A})+f(\mathbf{B});$$

对任意 $\mathbf{A}=(a_{ij})\in V_1$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

f(λA) = λ a₁1 + λ a₁2x + λ a₂1x² + λ a₂2x³ = λ f(A).$$f(\lambda \mathbf{A})=\lambda a_{11}+\lambda a_{12}x+\lambda a_{21}{x}^2+\lambda a_{22}{x}^3=\lambda f(\mathbf{A}).$$

所以 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个线性映射。由多项式系数与矩阵元素的一对一对应可知 $f$ 是一一对应，故 $f$ 为 $V_1$ 到 $V_2$ 的一个同构映射。

例 24 坐标映射的标准同构

设 $V$ 为 $n$ 维实线性空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V$ 的一组基。定义 $f:V\to {\mathbf{R}}^n$ 如下：对 $V$ 中的任意元素 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$：

f(α) = (x₁, x₂, …, xₙ)^T.$$f(\mathbf{\alpha })=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}.$$

验证 $f$ 为 $V$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个同构映射。

解

显然由基的唯一表示性知 $f$ 是一一对应。

任取 $V$ 中的元素

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ, β = y₁ α₁ + y₂ α₂ + … + yₙ αₙ.$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }=y_1{\mathbf{\alpha }}_1+y_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +y_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

因为

α + β = (x₁ + y₁)α₁ + (x₂ + y₂)α₂ + … + (xₙ + yₙ)αₙ;$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(x_1+y_1){\mathbf{\alpha }}_1+(x_2+y_2){\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +(x_n+y_n){\mathbf{\alpha }}_n;$$

且对任意实数 $\lambda$，

λα = λ x₁ α₁ + λ x₂ α₂ + … + λ xₙ αₙ.$$\lambda \mathbf{\alpha }=\lambda x_1{\mathbf{\alpha }}_1+\lambda x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +\lambda x_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

故

f(α + β) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, xₙ + yₙ)^T = f(α) + f(β);$$f(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n{)}^{\mathrm{T}}=f(\mathbf{\alpha })+f(\mathbf{\beta });$$f(λα) = (λ x₁, λ x₂, …, λ xₙ)^T = λ f(α).$$f(\lambda \mathbf{\alpha })=(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots ,\lambda x_n{)}^{\mathrm{T}}=\lambda f(\mathbf{\alpha }).$$

这说明 $f$ 是 $V$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个同构映射。

坐标映射与同构的深刻内涵

这个同构映射正是 9.2 节中介绍的联系 $V$ 与 ${\mathbf{R}}^n$ 的那个一一对应。正是这个同构映射使得 $V$ 中的元素 $\mathbf{\alpha }$ 对应成 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量 $f(\mathbf{\alpha })$，而且将 $V$ 中抽象的加法 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$ 与数乘 $\lambda \mathbf{\alpha }$ 对应成 ${\mathbf{R}}^n$ 中具体的向量加法 $f(\mathbf{\alpha })+f(\mathbf{\beta })$ 与数乘 $\lambda f(\mathbf{\alpha })$。

如果将 $\mathbf{\alpha }$ 看作 $f(\mathbf{\alpha })$ 的话，$V$ 就等同于 ${\mathbf{R}}^n$。${\mathbf{R}}^n$ 成为任意一个 $n$ 维实线性空间的“模型”。对 $V$ 的相关研究完全可以在 ${\mathbf{R}}^n$ 中进行。

二、同构的充要条件

关于有限维实线性空间的同构，有如下重要定理：

定理 11 有限维线性空间同构的充要条件

线性空间 $V_1$ 与 $V_2$ 同构的充分必要条件是

dim V₁ = dim V₂.$$\dim V_1=\dim V_2.$$

证明

充分性：设 $\dim V_1=\dim V_2=n$。分别在 $V_1$ 与 $V_2$ 中取基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$。定义映射 $f:V_1\to V_2$ 如下：

f(∑ᵢ=1ⁿ xᵢ αᵢ) = ∑ᵢ=1ⁿ xᵢ βᵢ, ∀ x₁, x₂, …, xₙ ∈ R.$$f\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i\right)=\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\beta }}_i,\forall x_1,x_2,\cdots ,x_n\in \mathbf{R}.$$

易见 $f$ 为一一对应，且保持加法与数乘运算（即 $f(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=f(\mathbf{\alpha })+f(\mathbf{\beta })$ 与 $f(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda f(\mathbf{\alpha })$），故 $f$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构映射，因此 $V_1$ 与 $V_2$ 同构。

必要性：设 $f:V_1\to V_2$ 是 $V_1$ 到 $V_2$ 的同构映射。在 $V_1$ 中取一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$。下面证明 $f({\mathbf{\alpha }}_1),f({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,f({\mathbf{\alpha }}_n)$ 是 $V_2$ 的一组基。

首先，若

x₁ f(α₁) + x₂ f(α₂) + … + xₙ f(αₙ) = 0,$$x_{1}f({\mathbf{\alpha }}_1)+x_{2}f({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +x_{n}f({\mathbf{\alpha }}_n)=0,$$

由 $f$ 的线性性，上式可写为

f(x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ) = 0.$$f(x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n)=0.$$

因为 $f$ 是一一对应（单射），所以

x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ = 0.$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0.$$

又因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关，所以

x₁ = x₂ = … = xₙ = 0,$$x_1=x_2=\cdots =x_n=0,$$

这说明 $f({\mathbf{\alpha }}_1),f({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,f({\mathbf{\alpha }}_n)$ 线性无关。

其次，任取 $\mathbf{\beta }\in V_2$，因为 $f$ 是双射（满射），所以存在唯一的 $\mathbf{\alpha }\in V_1$，使得 $\mathbf{\beta }=f(\mathbf{\alpha })$。设 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$，则

β = f(α) = f(x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ) = x₁ f(α₁) + x₂ f(α₂) + … + xₙ f(αₙ),$$\mathbf{\beta }=f(\mathbf{\alpha })=f(x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n)=x_{1}f({\mathbf{\alpha }}_1)+x_{2}f({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +x_{n}f({\mathbf{\alpha }}_n),$$

这说明 $\mathbf{\beta }$ 可由 $f({\mathbf{\alpha }}_1),f({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,f({\mathbf{\alpha }}_n)$ 线性表示。

综上，$f({\mathbf{\alpha }}_1),f({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,f({\mathbf{\alpha }}_n)$ 是 $V_2$ 的一组基，因此 $\dim V_1=\dim V_2=n$。

同构的分类哲学与唯一性

定理11 说明，线性空间同构的充分必要条件是维数相同。因此，实线性空间在代数结构层面的不同仅仅表现在维数的不同，维数相同的线性空间结构也是完全相同的。

从同构的意义上说，$n$ 维实线性空间在抽象代数意义下只有一个，那就是 ${\mathbf{R}}^n$。

习题九

9.7 线性空间的同构