9.6* 欧氏空间

本节将 ${\mathbf{R}}^n$ 中向量的长度与夹角等几何度量性质推广到一般的 $n$ 维实线性空间。

一、向量的内积与度量性质

定义 7 内积与欧氏空间

设 $V$ 是 $n$ 维实线性空间。如果对 $V$ 中任意两个向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$，都有唯一确定的实数（记作 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$）与之对应，且满足下面的三条性质，则称实数 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$ 为向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的内积：

(1) 对称性：对任意的 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V,(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=(\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha })$；

(2) 线性性：对任意的 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }\in V,(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma })+(\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$；且对任意的 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$ 及任意 $k\in \mathbf{R},(k\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=k(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$；

(3) 正定性：对任意的 $\mathbf{\alpha }\in V,(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })⩾0$，而且 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })=0⟺\mathbf{\alpha }=0$。

定义了内积运算的 $n$ 维实线性空间 $V$ 称为 $n$ 维欧氏空间。

例 17 ~ 20 典型的内积构造

(1) 在 ${\mathbf{R}}^n$ 中，定义内积 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{\beta }$（$\forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in {\mathbf{R}}^n$）。这个内积显然满足定义7 中的三条性质，${\mathbf{R}}^n$ 构成一个 $n$ 维欧氏空间，称这个内积为 ${\mathbf{R}}^n$ 的标准内积。

(2) 设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵。在 ${\mathbf{R}}^n$ 中定义 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })={\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\beta }$（$\forall \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in {\mathbf{R}}^n$）。因为 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{A}$ 且 $\mathbf{A}$ 正定，容易验证其满足对称性、线性性与正定性，因此也是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的内积。

(3) 设 $V$ 为全体 $n$ 阶实矩阵。在 $V$ 中定义

(A, B) = operatornametr(A^TB), ∀ A, B ∈ V.$$(\mathbf{A},\mathbf{B})=\mathrm{tr}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}),\forall \mathbf{A},\mathbf{B}\in V.$$

利用迹的性质 $\mathrm{tr}({\mathbf{M}}^{\mathrm{T}})=\mathrm{tr}(\mathbf{M})$ 与线性性质，以及 $(\mathbf{A},\mathbf{A})=\mathrm{tr}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}^2⩾0$，可知该运算构成 $V$ 中的内积。

(4) 设 $\mathbf{R}[x{]}_n$ 为全体次数小于 $n$ 的实系数多项式空间。在 $\mathbf{R}[x{]}_n$ 中定义

(f(x), g(x)) = ∫₀¹ f(x)g(x) dx, ∀ f(x), g(x) ∈ R[x]ₙ.$$(f(x),g(x))={\int }_0^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,\forall f(x),g(x)\in \mathbf{R}[x{]}_n.$$

由定积分的线性性质与连续函数积分的保号性，易见满足三条性质，因此也是 $\mathbf{R}[x{]}_n$ 中的内积。

定理 6 柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，有

(α, β)² ≤slant (α, α)(β, β),$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }{)}^2⩽(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })(\mathbf{\beta },\mathbf{\beta }),$$

等号当且仅当 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 线性相关时成立。

定义 8 ~ 9 向量长度、夹角与正交

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间：

(1) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，令 $\Vert \mathbf{\alpha }\Vert =\sqrt{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })}$，称 $\Vert \mathbf{\alpha }\Vert$ 为 $\mathbf{\alpha }$ 的长度（或范数）。当 $\Vert \mathbf{\alpha }\Vert =1$ 时，称 $\mathbf{\alpha }$ 为单位向量。长度具有非负性、齐次性与三角不等式：

|α + β| ≤slant |α| + |β|.$$\Vert \mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\Vert ⩽\Vert \mathbf{\alpha }\Vert +\Vert \mathbf{\beta }\Vert .$$

(2) 对 $V$ 中的任意非零向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$，称

θ = arccos ((α, β))/(|α| · |β|) (0 ≤slant θ ≤slant π)$$\theta =\arccos \frac{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })}{\Vert \mathbf{\alpha }\Vert \cdot \Vert \mathbf{\beta }\Vert }(0⩽\theta ⩽\pi )$$

为 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的夹角。

(3) 特别地，当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 即 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=0$ 时，称 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 正交，记为 $\mathbf{\alpha }\perp \mathbf{\beta }$。规定零向量与任意向量都正交。

多项式向量的夹角计算示例

如在例20 中取 $f(x)=x,g(x)=x^2$，由定义可得 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的夹角为

θ = arccos (∫₀¹ x³ dx)/(√(∫₀¹ x² dx) √(∫₀¹ x⁴ dx)) = arccos (1/4)/(√(1/3)√(1/5)) = arccos (√(15))/(4).$$\theta =\arccos \frac{{\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x}{\sqrt{{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x}\sqrt{{\int }_0^1{x}^4\mathrm{d}x}}=\arccos \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{3}}\sqrt{\frac{1}{5}}}=\arccos \frac{\sqrt{15}}{4}.$$

二、标准正交基与施密特正交化

定义 10 ~ 11 标准正交基

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间：

(1) 如果 $V$ 中的非零元素 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 两两正交，则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 为正交向量组。由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组（或规范正交向量组）。

(2) 如果 $V$ 中有一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 两两正交且都是单位向量，则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V$ 的一组标准正交基。

定理 7 正交向量组的线性无关性

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 为正交向量组，则 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 必线性无关。

定理 8 施密特（Schmidt）正交化方法

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 是 $V$ 中线性无关的向量组。令

β₁ &= α₁, β₂ &= α₂ - ((α₂, β₁))/((β₁, β₁))β₁, β₃ &= α₃ - ((α₃, β₁))/((β₁, β₁))β₁ - ((α₃, β₂))/((β₂, β₂))β₂, &vdots βₘ &= αₘ - ((αₘ, β₁))/((β₁, β₁))β₁ - ((αₘ, β₂))/((β₂, β₂))β₂ - … - frac(αₘ, βₘ-1)(βₘ-1, βₘ-1)βₘ-1,$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\beta }}_1& ={\mathbf{\alpha }}_1,\\ {\mathbf{\beta }}_2& ={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1,\\ {\mathbf{\beta }}_3& ={\mathbf{\alpha }}_3-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2,\\ & ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_m& ={\mathbf{\alpha }}_m-\frac{({\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{({\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2-\cdots -\frac{({\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_{m-1})}{({\mathbf{\beta }}_{m-1},{\mathbf{\beta }}_{m-1})}{\mathbf{\beta }}_{m-1},\end{array}$$

则 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 两两正交且与 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 等价。再取 ${\mathbf{e}}_i=\frac{{\mathbf{\beta }}_i}{\Vert {\mathbf{\beta }}_i\Vert }$ ($i=1,2,\cdots ,m$)，即得标准正交向量组。

例 21 多项式欧氏空间的正交基构造

在 $\mathbf{R}[x{]}_3$ 中，取基 ${\mathbf{\alpha }}_1=1,{\mathbf{\alpha }}_2=x,{\mathbf{\alpha }}_3=x^2$。按内积 $(f(x),g(x))={\int }_0^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 求 $\mathbf{R}[x{]}_3$ 的一组标准正交基。

解

令

β₁ = α₁ = 1,$${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1=1,$$β₂ = α₂ - ((α₂, β₁))/((β₁, β₁))β₁ = x - (∫₀¹ x dx)/(∫₀¹ 1² dx) = x - 1/2,$${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-\frac{({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1=x-\frac{{\int }_0^{1}x\mathrm{d}x}{{\int }_0^1{1}^2\mathrm{d}x}=x-\frac{1}{2},$$β₃ = α₃ - ((α₃, β₁))/((β₁, β₁))β₁ - ((α₃, β₂))/((β₂, β₂))β₂$${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_1)}{({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_1)}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{({\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\beta }}_2)}{({\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_2)}{\mathbf{\beta }}_2$$= x² - (∫₀¹ x² dx)/(∫₀¹ 1² dx) - (∫₀¹ x²(x - 1/2)dx)/(∫₀¹ (x - 1/2)² dx)(x - 1/2) = x² - x + 1/6.$$=x^2-\frac{{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x}{{\int }_0^1{1}^2\mathrm{d}x}-\frac{{\int }_0^1{x}^2\left(x-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}x}{{\int }_0^1{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\mathrm{d}x}\left(x-\frac{1}{2}\right)=x^2-x+\frac{1}{6}.$$

计算各向量的范数并单位化：

e₁ = (β₁)/(|β₁|) = (1)/(√(∫₀¹ 1² dx)) = 1,$${\mathbf{e}}_1=\frac{{\mathbf{\beta }}_1}{\Vert {\mathbf{\beta }}_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{{\int }_0^1{1}^2\mathrm{d}x}}=1,$$e₂ = (β₂)/(|β₂|) = (x - 1/2)/(√(∫₀¹ (x - 1/2)² dx)) = 2√(3)(x - 1/2),$${\mathbf{e}}_2=\frac{{\mathbf{\beta }}_2}{\Vert {\mathbf{\beta }}_2\Vert }=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{{\int }_0^1{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\mathrm{d}x}}=2\sqrt{3}\left(x-\frac{1}{2}\right),$$e₃ = (β₃)/(|β₃|) = (x² - x + 1/6)/(√(∫₀¹ (x² - x + 1/6)² dx)) = 6√(5)(x² - x + 1/6).$${\mathbf{e}}_3=\frac{{\mathbf{\beta }}_3}{\Vert {\mathbf{\beta }}_3\Vert }=\frac{x^2-x+\frac{1}{6}}{\sqrt{{\int }_0^1{\left(x^2-x+\frac{1}{6}\right)}^2\mathrm{d}x}}=6\sqrt{5}\left(x^2-x+\frac{1}{6}\right).$$

${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3$ 即为 $\mathbf{R}[x{]}_3$ 的一组标准正交基。

三、度量矩阵

在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中取定一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 以后，$V$ 中的任意向量 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 与其坐标向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 之间是一一对应的。借助这个对应关系，可将 $V$ 中抽象的内积运算对应成 ${\mathbf{R}}^n$ 中具体的内积运算。

定义 12 度量矩阵

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V$ 的一组基。称矩阵

A = (α₁, α₁) & (α₁, α₂) & … & (α₁, αₙ) (α₂, α₁) & (α₂, α₂) & … & (α₂, αₙ) vdots & vdots & & vdots (αₙ, α₁) & (αₙ, α₂) & … & (αₙ, αₙ)$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_1)& ({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)& \cdots & ({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_n)\\ ({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1)& ({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_2)& \cdots & ({\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_n)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ ({\mathbf{\alpha }}_n,{\mathbf{\alpha }}_1)& ({\mathbf{\alpha }}_n,{\mathbf{\alpha }}_2)& \cdots & ({\mathbf{\alpha }}_n,{\mathbf{\alpha }}_n)\end{array}\right)$$

为 $V$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的度量矩阵。

定理 9 坐标形式的内积计算与度量矩阵的正定性

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V$ 的一组基，$\mathbf{A}$ 为 $V$ 在该基下的度量矩阵。任取 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，分别设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 在该基下的坐标为 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\mathrm{T}}$，则

(α, β) = x^T A y.$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{y}.$$

且度量矩阵 $\mathbf{A}$ 是实对称正定矩阵。特别地，当基为标准正交基时，$\mathbf{A}=\mathbf{E}$，内积化为标准内积 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}$。

证明

记 $a_{ij}=({\mathbf{\alpha }}_i,{\mathbf{\alpha }}_j)$，则 $\mathbf{A}=(a_{ij})$。已知 $\mathbf{\alpha }={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i,\mathbf{\beta }={\sum }_{j=1}^n{y}_j{\mathbf{\alpha }}_j$。于是

(α, β) = (∑ᵢ=1ⁿ xᵢ αᵢ, ∑ⱼ=1ⁿ yⱼ αⱼ) = ∑ᵢ,j=1ⁿ xᵢ yⱼ aᵢj = x^T A y.$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i,\sum _{j=1}^n{y}_j{\mathbf{\alpha }}_j\right)=\sum _{i,j=1}^n{x}_i{y}_j{a}_{ij}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{y}.$$

由此可得 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$。由内积正定性，对任意非零向量 $\mathbf{\alpha }$（即 $\mathbf{x}\ne 0$），恒有 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$。由内积对称性知 $a_{ij}=a_{ji}$，故 $\mathbf{A}$ 为实对称正定矩阵。

定理 10 度量矩阵的基变换与合同关系

设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 为 $V$ 的两组基，$V$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与基 ${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的度量矩阵分别为 $\mathbf{A},\mathbf{B}$。从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵为 $\mathbf{P}$，则

B = P^T A P.$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}.$$

即 $n$ 维欧氏空间 $V$ 在不同基下的度量矩阵是合同的。

证明

记 $\mathbf{A}=(a_{ij}),\mathbf{B}=(b_{ij}),\mathbf{P}=(p_{ij})$，由已知得

(αᵢ, αⱼ) = aᵢj, (βᵢ, βⱼ) = bᵢj,$$({\mathbf{\alpha }}_i,{\mathbf{\alpha }}_j)=a_{ij},({\mathbf{\beta }}_i,{\mathbf{\beta }}_j)=b_{ij},$$βᵢ = p₁iα₁ + p₂iα₂ + … + pₙiαₙ, i = 1, 2, …, n.$${\mathbf{\beta }}_i=p_{1i}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{2i}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{ni}{\mathbf{\alpha }}_n,i=1,2,\cdots ,n.$$

设 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}=(c_{ij})$，只需证明 $b_{ij}=c_{ij}$：

bᵢj = (βᵢ, βⱼ) = (∑ₖ=1ⁿ pₖiαₖ, ∑ₗ=1ⁿ pₗjαₗ) = ∑ₖ,l=1ⁿ pₖi pₗj (αₖ, αₗ) = ∑ₖ,l=1ⁿ pₖi aₖl pₗj = cᵢj.$$b_{ij}=({\mathbf{\beta }}_i,{\mathbf{\beta }}_j)=\left(\sum _{k=1}^n{p}_{ki}{\mathbf{\alpha }}_k,\sum _{l=1}^n{p}_{lj}{\mathbf{\alpha }}_l\right)=\sum _{k,l=1}^n{p}_{ki}{p}_{lj}({\mathbf{\alpha }}_k,{\mathbf{\alpha }}_l)=\sum _{k,l=1}^n{p}_{ki}{a}_{kl}{p}_{lj}=c_{ij}.$$

因此 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}$。

9.6 欧氏空间