8.3 空间曲线及其方程

一、空间曲线的方程

1. 空间曲线的一般方程

设曲面 $S_1:F_1(x,y,z)=0$ 与曲面 $S_2:F_2(x,y,z)=0$ 的交线为 $C$，则 $C$ 上的点 $P(x,y,z)$ 满足方程组

F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0. (8.2)$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x,y,z)=0,\\ F_2(x,y,z)=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

反之，若点 $P(x,y,z)$ 满足方程组 (8.2)，则点 $P$ 既在 $S_1$ 上，也在 $S_2$ 上，因此在曲线 $C$ 上。因此方程组 (8.2) 就是曲线 $C$ 的方程，称为曲线 $C$ 的一般方程。

例如方程组

(x - 1)² + y² + (z + 1)² = 4, 2y + z = 0$$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4,\\ 2y+z=0\end{array}$$

表示的是球面 $(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=4$ 与平面 $2y+z=0$ 的交线，是一个圆。

例 6 方程组表示的曲线

方程组

x² + y² = z - 1, y = 2$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=z-1,\\ y=2\end{array}$$

表示怎样的曲线？

解

将 $y=2$ 代入方程 $x^2+y^2=z-1$，得 $z=x^2+5$，这是一个以 $xOz$ 平面上的抛物线 $z=x^2+5$ 为准线，母线平行于 $y$ 轴的柱面。这个柱面与平面 $y=2$ 的交线就是方程组所表示的曲线，它是平面 $y=2$ 上的抛物线

z = x² + 5, y = 2,$$\{\begin{array}{l}z=x^2+5,\\ y=2,\end{array}$$

如图 8.13 所示。

图 8.13 平面与柱面的交线

2. 空间曲线的参数方程

除了一般方程外，还可以用参数方程来表示空间曲线。设空间曲线 $C$ 上的动点坐标 $x,y,z$ 可以表示为参数 $t$ 的函数

x = x(t), y = y(t), t ∈ I, z = z(t). (8.3)$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),t\in I,\\ z=z(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

如果任给 $t_0\in I$，点 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 在曲线 $C$ 上；反之，任给曲线 $C$ 上的点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，都有某个 $t_0\in I$，使 $(x_0,y_0,z_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$，则称方程组 (8.3) 为空间曲线 $C$ 的参数方程。

例 7 求空间曲线的参数方程

写出曲线

C: (x - 2)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 4, z = 0$$C:\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=4,\\ z=0\end{array}$$

的参数方程。

解

曲线 $C$ 的一般方程也可以表示为

C: (x - 2)² + (y + 1)² = 3, z = 0,$$C:\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=3,\\ z=0,\end{array}$$

因此 $C$ 的参数方程为

x = 2 + √(3)cosθ, y = -1 + √(3)sinθ, θ ∈ [0, 2π], z = 0.$$\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{3}\cos \theta ,\\ y=-1+\sqrt{3}\sin \theta ,\theta \in [0,2\pi ],\\ z=0.\end{array}$$

例 8 螺旋线的参数方程

设空间动点 $M$ 在圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ ($a>0$) 上以角速度 $\omega$ 绕 $z$ 轴旋转，同时以线速度 $v$ 平行于 $z$ 轴的正向上升（$\omega ,v$ 均为常数）。点 $M$ 的轨迹称为螺旋线。试建立其参数方程。

解

如图 8.14 所示，取时间 $t$ 为参数。设 $t=0$ 时，点 $M$ 位于 $A(a,0,0)$ 处。经过时间 $t$，动点 $M(x,y,z)$ 在 $xOy$ 平面上的投影点为 $M^{\prime }(x,y,0)$，则

x = |OM'| cosangle M'OA = a cosω t, y = |OM'| sinangle M'OA = a sinω t.$$\{\begin{array}{l}x=|O{M}^{\prime }|\cos \angle M^{\prime }OA=a\cos \omega t,\\ y=|O{M}^{\prime }|\sin \angle M^{\prime }OA=a\sin \omega t.\end{array}$$

由于点 $M$ 以线速度 $v$ 平行于 $z$ 轴的正向上升，故 $z=vt$。此螺旋线的参数方程为

x = a cosω t, y = a sinω t, z = vt.$$\{\begin{array}{l}x=a\cos \omega t,\\ y=a\sin \omega t,\\ z=vt.\end{array}$$

螺旋线是日常生活中常见的曲线，当动点 $M$ 每旋转 $2\pi$ 的角度后，上升的高度为 $h=v\cdot \frac{2\pi }{\omega }$，称为螺距。

图 8.14 螺旋线

二、空间曲线在坐标面上的投影

设 $C$ 为空间曲线，以 $C$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴（即垂直于 $xOy$ 平面）的柱面称为曲线 $C$ 关于 $xOy$ 平面的投影柱面。投影柱面与 $xOy$ 平面的交线称为曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线（简称为投影）。

那么，如何求出空间曲线 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影呢？

设空间曲线 $C$ 的一般方程为

C: F₁(x, y, z) = 0, F₂(x, y, z) = 0.$$C:\{\begin{array}{l}{F}_1(x,y,z)=0,\\ F_2(x,y,z)=0.\end{array}$$

从方程中消去 $z$，得到一个不含变量 $z$ 的方程 $F(x,y)=0$。由 8.1 节可知这个方程的图形是母线平行于 $z$ 轴的柱面。将这个柱面记为 $S$，很明显，曲线 $C$ 上的点都满足柱面 $S$ 的方程 $F(x,y)=0$，即曲线 $C$ 在柱面 $S$ 上。因此柱面 $S$ 包含了 $C$ 关于 $xOy$ 面的投影柱面，曲线

F(x, y) = 0, z = 0$$\{\begin{array}{l}F(x,y)=0,\\ z=0\end{array}$$

包含了 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影。

同理，若从 $C$ 的方程中消去变量 $x$ 或变量 $y$，再分别与 $x=0$ 或 $y=0$ 联立，便可得到包含曲线 $C$ 在 $yOz$ 面或 $xOz$ 面上的投影的曲线方程

H(y, z) = 0, x = 0 或 R(x, z) = 0, y = 0.$$\{\begin{array}{l}H(y,z)=0,\\ x=0\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}R(x,z)=0,\\ y=0.\end{array}$$

例 9 空间曲线在坐标面上的投影

分别求曲线

C: x² + y² + z² = 9, x + z = 1$$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9,\\ x+z=1\end{array}$$

在 $xOy$ 面与 $xOz$ 面上的投影。

解

从 $C$ 的方程中消去 $z$，得 $2x^2+y^2-2x=8$，即

((x - 1/2)²)/((17)/(4)) + (y²)/((17)/(2)) = 1.$$\frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}{\frac{17}{4}}+\frac{y^2}{\frac{17}{2}}=1.$$

$C$ 在 $xOy$ 面上的投影为椭圆

((x - 1/2)²)/((17)/(4)) + (y²)/((17)/(2)) = 1, z = 0.$$\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}{\frac{17}{4}}+\frac{y^2}{\frac{17}{2}}=1,\\ z=0.\end{array}$$

从 $C$ 的方程中消去 $y$，得 $x+z=1$，$C$ 在 $xOz$ 面上的投影曲线方程为

x + z = 1, y = 0.$$\{\begin{array}{l}x+z=1,\\ y=0.\end{array}$$

这是一条直线，$C$ 是一个圆，很明显 $C$ 在 $xOz$ 面上的投影只是这条直线的一段，方程为

x + z = 1, y = 0, |x - 1/2| ≤slant (√(17))/(2).$$\{\begin{array}{l}x+z=1,\\ y=0,\end{array}\left|x-\frac{1}{2}\right|⩽\frac{\sqrt{17}}{2}.$$

几何注记：投影范围的确定

空间点 $P(x,y,z)$ 在 $xOz$ 面与 $xOy$ 面上的投影点分别为 $(x,0,z)$ 与 $(x,y,0)$，因此空间曲线在 $xOz$ 面与 $xOy$ 面上的投影有相同的 $x$ 的范围，可依据 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影得出 $\left|x-\frac{1}{2}\right|⩽\frac{\sqrt{17}}{2}$。

例 10 空间立体的投影区域

某空间立体由旋转抛物面 $z=6-x^2-y^2$ 与圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成（图 8.15）。求它在 $xOy$ 面上的投影。

解

旋转抛物面 $z=6-x^2-y^2$ 与圆锥面的交线为

C: z = 6 - x² - y², z = √(x² + y²).$$C:\{\begin{array}{l}z=6-x^2-y^2,\\ z=\sqrt{x^2+y^2}.\end{array}$$

从方程组中消去 $z$，得 $x^2+y^2=4$。因此 $C$ 在 $xOy$ 面上的投影为

x² + y² = 4, z = 0,$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4,\\ z=0,\end{array}$$

所求立体的投影为

x² + y² ≤slant 4, z = 0.$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2⩽4,\\ z=0.\end{array}$$

图 8.15 旋转抛物面与圆锥面围成立体

习题八

8.3 空间曲线及其方程