8.2 二次曲面及其分类

三元二次方程 $F(x,y,z)=0$ 代表的曲面称为二次曲面。其中

F(x, y, z) = a₁1x² + a₂2y² + a₃3z² + 2a₁2xy + 2a₁3xz + 2a₂3yz + 2ax + 2by + 2cz + d$$F(x,y,z)=a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2ax+2by+2cz+d$$

（二次项系数不全为零）。为了研究二次曲面的形状，需要适当地选择空间直角坐标系，将二次曲面的方程进行化简。

例 4* 利用正交变换与坐标平移化简二次曲面方程

化简方程

x² + 2y² + 2z² - 4yz - 2x + 2√(2)y - 6√(2)z + 5 = 0.$$x^2+2y^2+2z^2-4yz-2x+2\sqrt{2}y-6\sqrt{2}z+5=0.$$

解

先用正交变换将二次型 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+2z^2-4yz$ 化为标准形。

f(x, y, z) = (x, y, z) 1 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2 x y z ,$$f(x,y,z)=(x,y,z)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -2\\ 0& -2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$$

令 $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$，$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -2\\ 0& -2& 2\end{array}\right)$，则 $f(x,y,z)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$。

求 $\mathbf{A}$ 的特征值及相应的特征向量，得到

λ₁ = 1, p₁ = (1, 0, 0)^T; λ₂ = 4, p₂ = (0, 1, -1)^T; λ₃ = 0, p₃ = (0, 1, 1)^T.$${\lambda }_1=1,{\mathbf{p}}_1=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_2=4,{\mathbf{p}}_2=(0,1,-1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_3=0,{\mathbf{p}}_3=(0,1,1{)}^{\mathrm{T}}.$$

因为 $\mathbf{A}$ 的特征值两两不相等，所以 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3$ 两两正交。取

O = ((p₁)/(|p₁|), (p₂)/(|p₂|), (p₃)/(|p₃|)) = 1 & 0 & 0 0 & (1)/(√(2)) & (1)/(√(2)) 0 & -(1)/(√(2)) & (1)/(√(2)) , 则 O^TAO = 1 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 .$$\mathbf{O}=\left(\frac{{\mathbf{p}}_1}{\Vert {\mathbf{p}}_1\Vert },\frac{{\mathbf{p}}_2}{\Vert {\mathbf{p}}_2\Vert },\frac{{\mathbf{p}}_3}{\Vert {\mathbf{p}}_3\Vert }\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),\text{则 }{\mathbf{O}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{O}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

做正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{O}\mathbf{y}$，其中 $\mathbf{y}=(x_1,y_1,z_1{)}^{\mathrm{T}}$，即

x = x₁, y = (1)/(√(2))(y₁ + z₁), z = (1)/(√(2))(z₁ - y₁),$$\{\begin{array}{l}x=x_1,\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}(y_1+z_1),\\ z=\frac{1}{\sqrt{2}}(z_1-y_1),\end{array}$$

则

f = x₁² + 4y₁²,$$f=x_1^2+4y_1^2,$$

原方程化为

x₁² + 4y₁² - 2x₁ + 8y₁ - 4z₁ + 5 = 0.$$x_1^2+4y_1^2-2x_1+8y_1-4z_1+5=0.$$

几何注记：正交变换与新坐标轴

上面的正交变换，相当于将原来的直角坐标系变成以 $x_1,y_1,z_1$ 为坐标变量的新坐标系。原来的向量 $(1,0,0{)}^{\mathrm{T}},{\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{\mathrm{T}},{\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{\mathrm{T}}$ 分别变成了新坐标系下的 $x_1$ 轴、$y_1$ 轴、$z_1$ 轴的正向单位向量。

继续配方，得 $(x_1-1{)}^2+4(y_1+1{)}^2-4z_1=0$。令

x₂ = x₁ - 1, y₂ = y₁ + 1, z₂ = z₁,$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1-1,\\ y_2=y_1+1,\\ z_2=z_1,\end{array}$$

得化简后的方程为

(x₂²)/(4) + y₂² = z₂.$$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=z_2.$$

几何注记：坐标平移

上述从 $x_1,y_1,z_1$ 到 $x_2,y_2,z_2$ 的变换并不是线性变换，而是一个坐标系的平移，即将 $x_1,y_1,z_1$ 坐标系中的点 $(1,-1,0)$ 作为新的 $x_2,y_2,z_2$ 坐标系的原点，而 $x_2,y_2,z_2$ 轴的方向分别与原来 $x_1,y_1,z_1$ 轴的方向相同。

例 5* 二次曲面方程的进一步化简

化简方程

x² + 2x + 2y + z + √(5) + 1 = 0.$$x^2+2x+2y+z+\sqrt{5}+1=0.$$

解

方程中的二次项部分已是标准形。将方程配方，得

(x + 1)² + 2y + z + √(5) = 0.$$(x+1{)}^2+2y+z+\sqrt{5}=0.$$

做正交变换

x₁ = x, y₁ = (1)/(√(5))(2y + z), z₁ = (1)/(√(5))(y - 2z),$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x,\\ y_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(2y+z),\\ z_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(y-2z),\end{array}$$

则方程化为 $(x_1+1{)}^2+\sqrt{5}{y}_1+\sqrt{5}=0$，即 $(x_1+1{)}^2+\sqrt{5}(y_1+1)=0$。

再做平移变换

x₂ = x₁ + 1, y₂ = y₁ + 1, z₂ = z₁,$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1+1,\\ y_2=y_1+1,\\ z_2=z_1,\end{array}$$

方程化简为

x₂² + √(5)y₂ = 0.$$x_2^2+\sqrt{5}{y}_2=0.$$

我们不做证明地指出，除无图形的或图形为一个点的三元二次方程外，其余的任意一个三元二次方程，总可以经过若干次的直角坐标变换，化简为下面的九种标准方程之一。这就是说，任何一个二次曲面，总可以在适当的直角坐标系下，化为其中的某一种标准方程所代表的曲面。以下分别讨论这九种标准方程所代表的二次曲面的形状。

二、二次曲面的九种标准形式

1. 椭球面

方程

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) + (z²)/(c²) = 1 (a > 0, b > 0, c > 0) (1)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a>0,b>0,c>0)\text{\hspace{1em}(1)}$$

的图形称为椭球面，$a,b,c$ 称为椭球面的三个半轴。显然当 $a=b=c$ 时，方程 (1) 的图形为球心在原点，半径为 $a$ 的球面。

从方程 (1) 可以发现，椭球面关于原点，关于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴，关于三个坐标面都是对称的。

下面用“截痕法”来了解椭球面的形状。所谓“截痕法”，就是用一组平行于坐标面的平面去截割曲面，得到曲面与平面的交线（称为截痕），通过这些截痕去推知曲面的形状。

用平面 $z=k$ 去截椭球面，截痕在平面 $z=k$ 上，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{k^2}{c^2}$。

• 当 $|k|>c$ 时，平面 $z=k$ 与椭球面不相交；
• 当 $|k|=c$ 时，平面 $z=k$ 与椭球面相交于点 $(0,0,k)$；
• 当 $|k|<c$ 时，截痕为平面 $z=k$ 上的椭圆

(x²)/(a²(1 - (k²)/(c²))) + (y²)/(b²(1 - (k²)/(c²))) = 1.$$\frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{k^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{k^2}{c^2}\right)}=1.$$

当 $k=0$ 时，椭圆的半轴最大，随着 $|k|$ 逐渐增大（$|k|<c$），椭圆的半轴逐渐减小。类似可得其他两组与坐标面平行的截痕也是椭圆。综合起来得到椭球面的形状，如图 8.7 所示。

图 8.7 椭球面

2. 单叶双曲面

方程

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) - (z²)/(c²) = 1 (2)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\text{\hspace{1em}(2)}$$

的图形称为单叶双曲面。从方程 (2) 可以发现，单叶双曲面关于原点，关于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴，关于三个坐标面都是对称的。

用平面 $z=k$ 去截单叶双曲面，截痕在平面 $z=k$ 上，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}$。

当 $k=0$ 时，椭圆的半轴最短，是 $xOy$ 平面上的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，称为单叶双曲面的腰椭圆，随着 $|k|$ 的增大，椭圆的半轴变大。

单叶双曲面的平行于 $yOz$ 平面的截痕为平面 $x=k$ 上的双曲线 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{k^2}{a^2}$ ($|k|\ne a$)；平行于 $xOz$ 平面的截痕为平面 $y=k$ 上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1-\frac{k^2}{b^2}$ ($|k|\ne b$)。

综合起来得到单叶双曲面的形状，如图 8.8 所示。

图 8.8 单叶双曲面

3. 双叶双曲面

方程

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) - (z²)/(c²) = -1 (3)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\text{\hspace{1em}(3)}$$

的图形称为双叶双曲面。从方程 (3) 可以发现，双叶双曲面关于原点，关于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴，关于三个坐标面都是对称的。

用平面 $z=k$ 去截双叶双曲面，截痕在平面 $z=k$ 上，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{c^2}-1$。

• 当 $|k|<c$ 时，平面 $z=k$ 与双叶双曲面不相交；
• 当 $|k|=c$ 时，平面 $z=k$ 与双叶双曲面交于点 $(0,0,k)$；
• 当 $|k|>c$ 时，截痕为椭圆 $\frac{x^2}{a^2\left(\frac{k^2}{c^2}-1\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(\frac{k^2}{c^2}-1\right)}=1$，随着 $|k|$ 的增大，椭圆的半轴变大。

双叶双曲面的平行于 $yOz$ 平面的截痕为平面 $x=k$ 上的双曲线 $\frac{z^2}{c^2}-\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{a^2}$；平行于 $xOz$ 平面的截痕为平面 $y=k$ 上的双曲线 $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{k^2}{b^2}$。综合起来得到双叶双曲面的形状，如图 8.9 所示。

图 8.9 双叶双曲面

4. 椭圆锥面

方程

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) = z² (4)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\text{\hspace{1em}(4)}$$

的图形称为椭圆锥面。从方程 (4) 可以发现，椭圆锥面关于原点，关于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴，关于三个坐标面都是对称的。

用平面 $z=k$ 去截椭圆锥面，截痕在平面 $z=k$ 上，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k^2$。

• 当 $k=0$ 时，椭圆锥面与 $xOy$ 平面交于原点。
• 当 $k\ne 0$ 时，截痕为椭圆 $\frac{x^2}{a^2{k}^2}+\frac{y^2}{b^2{k}^2}=1$，随着 $|k|$ 的增大，椭圆的半轴变大。

椭圆锥面的平行于 $yOz$ 平面的截痕为平面 $x=k$ 上的曲线 $z^2-\frac{y^2}{b^2}=\frac{k^2}{a^2}$，当 $k=0$ 时，椭圆锥面与 $yOz$ 平面交于两条直线 $z=\pm \frac{y}{b}$。

椭圆锥面的平行于 $xOz$ 平面的截痕为平面 $y=k$ 上的双曲线 $z^2-\frac{x^2}{a^2}=\frac{k^2}{b^2}$ ($k\ne 0$)，当 $k=0$ 时，椭圆锥面与 $xOz$ 平面交于两条直线 $z=\pm \frac{x}{a}$。

综合起来得到椭圆锥面的形状，如图 8.10 所示。

图 8.10 椭圆锥面

5. 椭圆抛物面

方程

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) = z (5)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z\text{\hspace{1em}(5)}$$

的图形称为椭圆抛物面。从方程 (5) 可以发现，椭圆抛物面关于 $z$ 轴，关于 $yOz$ 平面，关于 $xOz$ 平面都是对称的。

用平面 $z=k$ 去截椭圆抛物面，截痕在平面 $z=k$ 上，方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k$。

• 当 $k=0$ 时，椭圆抛物面与 $xOy$ 平面交于原点；
• 当 $k>0$ 时，截痕为椭圆 $\frac{x^2}{a^{2}k}+\frac{y^2}{b^{2}k}=1$，随着 $k$ 的增大，椭圆的半轴增大；
• 当 $k<0$ 时，椭圆抛物面与 $z=k$ 不相交。

椭圆抛物面的平行于 $yOz$ 平面的截痕为平面 $x=k$ 上的抛物线 $z=\frac{y^2}{b^2}+\frac{k^2}{a^2}$；平行于 $xOz$ 平面的截痕也是平面 $y=k$ 上的抛物线 $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}$。

综合起来得到椭圆抛物面的形状，如图 8.11 所示。

图 8.11 椭圆抛物面

6. 双曲抛物面（马鞍面）

方程

(x²)/(a²) - (y²)/(b²) = z (6)$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z\text{\hspace{1em}(6)}$$

的图形称为双曲抛物面，也称为马鞍面。从方程 (6) 可以发现，双曲抛物面关于 $z$ 轴，关于 $yOz$ 平面，关于 $xOz$ 平面都是对称的。

用平面 $z=k$ 去截双曲抛物面，截痕为平面 $z=k$ 上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=k$ ($k\ne 0$)。当 $k>0$ 时，双曲线的实轴平行于 $x$ 轴；当 $k<0$ 时，双曲线的实轴平行于 $y$ 轴。

双曲抛物面与 $xOy$ 平面交于两条直线 $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{b}=0$。

用平面 $x=k$ 与 $y=k$ 去截割双曲抛物面，截痕都是抛物线。双曲抛物面与 $yOz$ 平面的交线为抛物线 $z=-\frac{y^2}{b^2}$，与 $xOz$ 平面的交线为抛物线 $z=\frac{x^2}{a^2}$。

综合起来可知，双曲抛物面的形状如图 8.12 所示。

图 8.12 双曲抛物面（马鞍面）

7. 椭圆柱面、双曲柱面与抛物柱面

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 (7)$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\text{\hspace{1em}(7)}$$ (x²)/(a²) - (y²)/(b²) = 1 (8)$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\text{\hspace{1em}(8)}$$ x² = ay (9)$$x^2=ay\text{\hspace{1em}(9)}$$

方程 (7)、(8)、(9) 的图形依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。柱面的形状在 8.1 节中已做讨论，这里不再赘述。

8.2 二次曲面及其分类