6.2 方阵的相似化简

本节将讨论：当方阵 $\mathbf{A}$ 满足什么条件时，能找到可逆的矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角矩阵。能表示成 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 的矩阵 $\mathbf{B}$ 称为 $\mathbf{A}$ 的相似矩阵。

一、相似矩阵

定义 3 相似矩阵

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶方阵。如果存在某个 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得

B = P⁻1AP,$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P},$$

则称 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的相似矩阵，或称 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，记为 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$。

方阵之间的“相似”关系具有以下三条性质，因此是一种等价关系：

1. 反身性：$\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$。即任意一个方阵都与自己相似。这是因为等式 $\mathbf{A}={\mathbf{E}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{E}$ 显然成立；
2. 对称性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$。事实上，如果有 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$，则显然有 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}{\mathbf{P}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$，其中 $\mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{-1}$；
3. 传递性：若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B},\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$，则 $\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$。事实上，如果有 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P},\mathbf{C}={\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$，则 $\mathbf{C}={\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{Q}={\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{R}$，其中 $\mathbf{R}=\mathbf{P}\mathbf{Q}$。

相似矩阵还有下面的性质：

性质 5 相似矩阵特征多项式与特征值相同

如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值与行列式。

证

已知存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$，所以

|λE - B| &= |λE - P⁻1AP| = |P⁻1(λE - A)P| &= |P⁻1| |λE - A| |P| = |λE - A|.$$\begin{array}{rl}|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|& =|\lambda \mathbf{E}-{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}|=|{\mathbf{P}}^{-1}(\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{P}|\\ & =|{\mathbf{P}}^{-1}||\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}||\mathbf{P}|=|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|.\end{array}$$

性质 6 相似矩阵的多项式相似

如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，则 $f(\mathbf{A})\sim f(\mathbf{B})$，其中

f(x) = aₘ x^m + aₘ-1x^(m-1) + … + a₁ x + a₀.$$f(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$$

证

已知存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$，所以

B^k = (P⁻1AP)^k = P⁻1A^kP, k = 1, 2, …, m.$${\mathbf{B}}^k=({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}{)}^k={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^k\mathbf{P},k=1,2,\dots ,m.$$f(B) &= aₘB^m + aₘ-1B^(m-1) + … + a₁B + a₀E &= aₘP⁻1A^mP + aₘ-1P⁻1A^(m-1)P + … + a₁P⁻1AP + a₀P⁻1EP &= P⁻1(aₘA^m + aₘ-1A^(m-1) + … + a₁A + a₀E)P = P⁻1f(A)P.$$\begin{array}{rl}f(\mathbf{B})& =a_m{\mathbf{B}}^m+a_{m-1}{\mathbf{B}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{B}+a_0\mathbf{E}\\ & =a_m{\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^m\mathbf{P}+a_{m-1}{\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{m-1}\mathbf{P}+\cdots +a_1{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}+a_0{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{E}\mathbf{P}\\ & ={\mathbf{P}}^{-1}(a_m{\mathbf{A}}^m+a_{m-1}{\mathbf{A}}^{m-1}+\cdots +a_1\mathbf{A}+a_0\mathbf{E})\mathbf{P}={\mathbf{P}}^{-1}f(\mathbf{A})\mathbf{P}.\end{array}$$

性质 7 相似矩阵的逆矩阵相似

如果 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$，$\mathbf{A}$ 可逆，则 $\mathbf{B}$ 可逆，且 ${\mathbf{A}}^{-1}\sim {\mathbf{B}}^{-1}$。

证

已知存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$，且 $|\mathbf{A}|\ne 0$。所以 $|\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\ne 0$，$\mathbf{B}$ 可逆，且 ${\mathbf{B}}^{-1}=({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}{)}^{-1}={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{P}$，即 ${\mathbf{A}}^{-1}\sim {\mathbf{B}}^{-1}$。

下面讨论当方阵 $\mathbf{A}$ 满足什么条件时，能找到可逆的矩阵 $\mathbf{P}$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角矩阵，此时称 $\mathbf{A}$ 可对角化。

二、方阵可对角化的条件

定理 1 方阵可对角化的充要条件

$n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

证明

必要性：如果 $\mathbf{A}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ 相似，即存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$。设 $\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)$，由 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$ 可得 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }$，即

A(p₁, p₂, …, pₙ) = (p₁, p₂, …, pₙ)Λ,$$\mathbf{A}({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)\mathbf{\Lambda },$$(Ap₁, Ap₂, …, Apₙ) = (λ₁p₁, λ₂p₂, …, λₙpₙ).$$(\mathbf{A}{\mathbf{p}}_1,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2,\dots ,\mathbf{A}{\mathbf{p}}_n)=({\lambda }_1{\mathbf{p}}_1,{\lambda }_2{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\lambda }_n{\mathbf{p}}_n).$$

由此可得 $\mathbf{A}{\mathbf{p}}_k={\lambda }_k{\mathbf{p}}_k$ ($k=1,2,\dots ,n$)。这说明 $\mathbf{P}$ 的 $n$ 个列向量是 $\mathbf{A}$ 的特征向量。而 $\mathbf{P}$ 是可逆的，所以 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n$ 线性无关，即 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

充分性：设 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n$，且

Apⱼ = λⱼpⱼ, j = 1, 2, …, n.$$\mathbf{A}{\mathbf{p}}_j={\lambda }_j{\mathbf{p}}_j,j=1,2,\dots ,n.$$

令 $\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)$，则 $\mathbf{P}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，而且满足

AP &= A(p₁, p₂, …, pₙ) = (λ₁p₁, λ₂p₂, …, λₙpₙ) &= (p₁, p₂, …, pₙ)Λ,$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{P}& =\mathbf{A}({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)=({\lambda }_1{\mathbf{p}}_1,{\lambda }_2{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\lambda }_n{\mathbf{p}}_n)\\ & =({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)\mathbf{\Lambda },\end{array}$$

其中 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ 为对角矩阵，即 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$ 为对角矩阵。

特征向量与对角矩阵元素对应

定理充分性的证明过程告诉我们：只要找出 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n$，以它们为列向量构成 $\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)$，则 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角矩阵。这个对角矩阵称为 $\mathbf{A}$ 的相似标准形，其对角元素恰好为 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值。

在求矩阵 $\mathbf{A}$ 的相似标准形 $\mathbf{\Lambda }$ 时，$\mathbf{\Lambda }$ 的对角元可以是按任意顺序排列的。但是 $\mathbf{P}$ 的各列的排列次序与 $\mathbf{\Lambda }$ 中各个对角元（即 $\mathbf{A}$ 的全体特征值）的排列次序必须互相对应，$\mathbf{P}$ 的第 $k$ 列所对应的特征值就是 $\mathbf{\Lambda }$ 的第 $k$ 个对角元素 ($k=1,2,\dots ,n$)。

定义 4 相似标准形

如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$ 为对角矩阵，则称对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 为 $\mathbf{A}$ 的相似标准形。

定理1 告诉我们，$n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 相似于对角矩阵的充要条件是 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。那么，对于给定的 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$，如何知道它是否有 $n$ 个线性无关的特征向量呢？先证明下面的定理。

定理 2 不同特征值的特征向量线性无关

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ 是 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的两两不同的特征值，${\mathbf{p}}_i$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的特征向量 ($1⩽i⩽k$)，则 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_k$ 线性无关。

证明

用数学归纳法。$k=1$ 时定理显然成立。假设 $k=m$ 时定理成立。当 $k=m+1$ 时，设

a₁p₁ + a₂p₂ + … + aₘ+1pₘ+1 = 0, (6.1)$$a_1{\mathbf{p}}_1+a_2{\mathbf{p}}_2+\cdots +a_{m+1}{\mathbf{p}}_{m+1}=0,\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

则

A(a₁p₁ + a₂p₂ + … + aₘ+1pₘ+1) = 0, a₁Ap₁ + a₂Ap₂ + … + aₘ+1Apₘ+1 = 0, a₁λ₁p₁ + a₂λ₂p₂ + … + aₘ+1λₘ+1pₘ+1 = 0. (6.2)$$\begin{array}{c}\mathbf{A}(a_1{\mathbf{p}}_1+a_2{\mathbf{p}}_2+\cdots +a_{m+1}{\mathbf{p}}_{m+1})=0,\\ a_1\mathbf{A}{\mathbf{p}}_1+a_2\mathbf{A}{\mathbf{p}}_2+\cdots +a_{m+1}\mathbf{A}{\mathbf{p}}_{m+1}=0,\\ a_1{\lambda }_1{\mathbf{p}}_1+a_2{\lambda }_2{\mathbf{p}}_2+\cdots +a_{m+1}{\lambda }_{m+1}{\mathbf{p}}_{m+1}=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

将式 (6.1) 等式两边乘 ${\lambda }_{m+1}$，再与式 (6.2) 相减得

a₁(λₘ+1 - λ₁)p₁ + a₂(λₘ+1 - λ₂)p₂ + … + aₘ(λₘ+1 - λₘ)pₘ = 0.$$a_1({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_1){\mathbf{p}}_1+a_2({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_2){\mathbf{p}}_2+\cdots +a_m({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_m){\mathbf{p}}_m=0.$$

由归纳假设可知 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_m$ 线性无关，所以

a₁(λₘ+1 - λ₁) = 0, a₂(λₘ+1 - λ₂) = 0, …, aₘ(λₘ+1 - λₘ) = 0.$$a_1({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_1)=0,a_2({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_2)=0,\dots ,a_m({\lambda }_{m+1}-{\lambda }_m)=0.$$

因为 ${\lambda }_{m+1}-{\lambda }_i\ne 0$ ($i=1,2,\dots ,m$)，所以 $a_1=a_2=\cdots =a_m=0$，代入式 (6.1) 得 $a_{m+1}{\mathbf{p}}_{m+1}=0$。

因为 ${\mathbf{p}}_{m+1}\ne 0$，故 $a_{m+1}=0$。这表明 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_{m+1}$ 线性无关，定理得证。

结合定理1 与定理2，有下面的推论：

推论 2 互异特征值方阵的可对角化性

如果 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 有 $n$ 个两两不同的特征值，则 $\mathbf{A}$ 可对角化。

由定理2 还可得到下面的推论：

推论 3 不同特征值对应的特征向量组的联合无关性

设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$ 是 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的两两不同的特征值，${\mathbf{p}}_{i1},{\mathbf{p}}_{i2},\dots ,{\mathbf{p}}_{i{r}_i}$ 是 $\mathbf{A}$ 的属于 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量 ($1⩽i⩽m$)，则

p₁1, p₁2, …, p₁r₁, p₂1, p₂2, …, p₂r₂, …, pₘ1, pₘ2, …, pₘrₘ$${\mathbf{p}}_{11},{\mathbf{p}}_{12},\dots ,{\mathbf{p}}_{1r_1},{\mathbf{p}}_{21},{\mathbf{p}}_{22},\dots ,{\mathbf{p}}_{2r_2},\dots ,{\mathbf{p}}_{m1},{\mathbf{p}}_{m2},\dots ,{\mathbf{p}}_{m{r}_m}$$

（共 $r_1+r_2+\cdots +r_m$ 个向量）仍线性无关。

证*

设

a₁1p₁1 + … + a₁r₁p₁r₁ + a₂1p₂1 + … + a₂r₂p₂r₂ + … + aₘ1pₘ1 + … + aₘrₘpₘrₘ = 0,$$a_{11}{\mathbf{p}}_{11}+\cdots +a_{1r_1}{\mathbf{p}}_{1r_1}+a_{21}{\mathbf{p}}_{21}+\cdots +a_{2r_2}{\mathbf{p}}_{2r_2}+\cdots +a_{m1}{\mathbf{p}}_{m1}+\cdots +a_{m{r}_m}{\mathbf{p}}_{m{r}_m}=0,$$

令 ${\mathbf{p}}_i=a_{i1}{\mathbf{p}}_{i1}+a_{i2}{\mathbf{p}}_{i2}+\cdots +a_{i{r}_i}{\mathbf{p}}_{i{r}_i}$ ($i=1,2,\dots ,m$)，则

p₁ + p₂ + … + pₘ = 0.$${\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2+\cdots +{\mathbf{p}}_m=0.$$

下面用反证法证明 ${\mathbf{p}}_1={\mathbf{p}}_2=\cdots ={\mathbf{p}}_m=0$。否则，若 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_m$ 中有非零向量，设 ${\mathbf{p}}_{k_1},{\mathbf{p}}_{k_2},\dots ,{\mathbf{p}}_{k_t}$ ($1⩽t⩽m$) 为所有非零向量，则 ${\mathbf{p}}_{k_1}+{\mathbf{p}}_{k_2}+\cdots +{\mathbf{p}}_{k_t}=0$。由 6.1 节性质1 可知 ${\mathbf{p}}_{k_1},{\mathbf{p}}_{k_2},\dots ,{\mathbf{p}}_{k_t}$ 是 $\mathbf{A}$，根据定理2，${\lambda }_{k_1},{\lambda }_{k_2},\dots ,{\lambda }_{k_t}$，根据定理 2，${\mathbf{p}}_{k_1},{\mathbf{p}}_{k_2},\dots ,{\mathbf{p}}_{k_t}$ 是线性无关的，这与 ${\mathbf{p}}_{k_1}+{\mathbf{p}}_{k_2}+\cdots +{\mathbf{p}}_{k_t}=0$ 矛盾。因此 ${\mathbf{p}}_1={\mathbf{p}}_2=\cdots ={\mathbf{p}}_m=0$，即

pᵢ = aᵢ1pᵢ1 + aᵢ2pᵢ2 + … + aᵢrᵢpᵢrᵢ = 0, i = 1, 2, …, m.$${\mathbf{p}}_i=a_{i1}{\mathbf{p}}_{i1}+a_{i2}{\mathbf{p}}_{i2}+\cdots +a_{i{r}_i}{\mathbf{p}}_{i{r}_i}=0,i=1,2,\dots ,m.$$

已知对任意 $1⩽i⩽m$，${\mathbf{p}}_{i1},{\mathbf{p}}_{i2},\dots ,{\mathbf{p}}_{i{r}_i}$ 是线性无关的，所以

aᵢ1 = aᵢ2 = … = aᵢrᵢ = 0, i = 1, 2, …, m,$$a_{i1}=a_{i2}=\cdots =a_{i{r}_i}=0,i=1,2,\dots ,m,$$

推论3 得证。

推论3 告诉我们：将属于不同特征值的线性无关的特征向量合并在一起，可以组成个数更多的线性无关的特征向量组。那么，对应于每个特征值，最多能找出多少个线性无关的特征向量呢？下面的定理3 给出了这个问题的答案。

定理 3 几何重数不超过代数重数

设 ${\lambda }_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的重数为 $k$ 的特征值，对应于 ${\lambda }_0$，$\mathbf{A}$ 最多有 $m$ 个线性无关的特征向量，则 $m⩽k$。

证*

用反证法。设 $m>k$，${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_m$ 为 $\mathbf{A}$ 的对应于 ${\lambda }_0$ 的线性无关的特征向量。因为 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_m$ 线性无关，继续添加向量 ${\mathbf{p}}_{m+1},{\mathbf{p}}_{m+2},\dots ,{\mathbf{p}}_n$ 使 ${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n$ 成为复向量空间 ${\mathbb{C}}^n$ 的一组基。

设 $\mathbf{A}{\mathbf{p}}_i=b_{1i}{\mathbf{p}}_1+b_{2i}{\mathbf{p}}_2+\cdots +b_{ni}{\mathbf{p}}_n$ ($i=m+1,m+2,\dots ,n$)，则

A(p₁, p₂, …, pₙ) = (p₁, p₂, …, pₙ) λ₀Eₘ & B₁ O & B₂ , (6.3)$$\mathbf{A}({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{\mathbf{E}}_m& {\mathbf{B}}_1\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}_2\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

其中

B₁ = b₁, m+1 & b₁, m+2 & … & b₁n b₂, m+1 & b₂, m+2 & … & b₂n vdots & vdots & & vdots bₘ, m+1 & bₘ, m+2 & … & bₘn , B₂ = bₘ+1, m+1 & bₘ+1, m+2 & … & bₘ+1, n bₘ+2, m+1 & bₘ+2, m+2 & … & bₘ+2, n vdots & vdots & & vdots bₙ, m+1 & bₙ, m+2 & … & bₙn .$${\mathbf{B}}_1=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{1,m+1}& b_{1,m+2}& \cdots & b_{1n}\\ b_{2,m+1}& b_{2,m+2}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{m,m+1}& b_{m,m+2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right),{\mathbf{B}}_2=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{m+1,m+1}& b_{m+1,m+2}& \cdots & b_{m+1,n}\\ b_{m+2,m+1}& b_{m+2,m+2}& \cdots & b_{m+2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{n,m+1}& b_{n,m+2}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right).$$

令 $\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)$，则 $\mathbf{P}$ 可逆，由式 (6.3) 可得

P⁻1AP = λ₀Eₘ & B₁ O & B₂ .$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{\mathbf{E}}_m& {\mathbf{B}}_1\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}_2\end{array}\right).$$

记 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0{\mathbf{E}}_m& {\mathbf{B}}_1\\ \mathbf{O}& {\mathbf{B}}_2\end{array}\right)$，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 相似，所以 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 特征值相同。

|λE - B| = (λ - λ₀)Eₘ & -B₁ O & λEₙ-m - B₂ ,$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|=\left|\begin{array}{cc}(\lambda -{\lambda }_0){\mathbf{E}}_m& -{\mathbf{B}}_1\\ \mathbf{O}& \lambda {\mathbf{E}}_{n-m}-{\mathbf{B}}_2\end{array}\right|,$$

将等式右端的行列式依次按第 1 列，第 2 列，$\dots$，第 $m$ 列展开可得

|λE - B| = (λ - λ₀)^m |λEₙ-m - B₂|.$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{B}|=(\lambda -{\lambda }_0{)}^m|\lambda {\mathbf{E}}_{n-m}-{\mathbf{B}}_2|.$$

因为 $|\lambda {\mathbf{E}}_{n-m}-{\mathbf{B}}_2|$ 是关于 $\lambda$ 的 $(n-m)$ 次多项式，所以 ${\lambda }_0$ 是 $\mathbf{B}$ 的特征值，重数至少为 $m$，而 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的特征值是相同的，因此 ${\lambda }_0$ 也是 $\mathbf{A}$ 的特征值，重数至少为 $m$，但 $m>k$，这与已知重数为 $k$ 矛盾。

定理3 说明，对应于每个特征值，矩阵能有的线性无关的特征向量个数不会超过这个特征值的重数。由定理1 与定理3 可得下面的结论：

定理 4 方阵可对角化的充要条件（重数与特征向量数）

方阵 $\mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是对对应于 $\mathbf{A}$ 的任意特征值 $\lambda$，$\mathbf{A}$ 有 $k$ 个线性无关的特征向量，其中 $k$ 是 $\lambda$ 作为特征值的重数。

三、相似对角化方法与典型例题

例 6 讨论矩阵是否可以对角化

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -2\\ 2& 0& -2\\ 2& -1& -1\end{array}\right)$，讨论 $\mathbf{A}$ 是否可以对角化。

解

|λE - A| &= λ - 3 & 1 & 2 -2 & λ & 2 -2 & 1 & λ + 1 xrightarrow[c₁ + c₃]c₁ + c₂ λ & 1 & 2 λ & λ & 2 λ & 1 & λ + 1 &= λ 1 & 1 & 2 1 & λ & 2 1 & 1 & λ + 1 = λ(λ - 1)².$$\begin{array}{rl}|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& 1& 2\\ -2& \lambda & 2\\ -2& 1& \lambda +1\end{array}\right|\underset{c_1+c_3}{\overset{c_1+c_2}{\to }}\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 2\\ \lambda & \lambda & 2\\ \lambda & 1& \lambda +1\end{array}\right|\\ & =\lambda \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& \lambda & 2\\ 1& 1& \lambda +1\end{array}\right|=\lambda (\lambda -1{)}^2.\end{array}$$

${\lambda }_1={\lambda }_2=1$ 是二重特征值。

考虑齐次线性方程组 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，其系数矩阵为

E - A = -2 & 1 & 2 -2 & 1 & 2 -2 & 1 & 2 , 显然 r(E - A) = 1,$$\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 2\\ -2& 1& 2\\ -2& 1& 2\end{array}\right),\text{显然 }r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=1,$$

因此齐次线性方程组 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$ 的基础解系中有两个向量，也就是说，对应于二重特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，$\mathbf{A}$ 有两个线性无关的特征向量，所以 $\mathbf{A}$ 可以对角化。

单特征值无需检验

对于单特征值，必有属于它的特征向量，无须对它进行讨论。

例 7 讨论不可对角化的矩阵

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$，讨论 $\mathbf{A}$ 是否可以对角化。

解

|λE - A| = λ + 1 & -1 & 0 4 & λ - 3 & 0 -1 & 0 & λ - 2 = (λ - 2)[(λ + 1)(λ - 3) + 4] = (λ - 2)(λ - 1)².$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +1& -1& 0\\ 4& \lambda -3& 0\\ -1& 0& \lambda -2\end{array}\right|=(\lambda -2)[(\lambda +1)(\lambda -3)+4]=(\lambda -2)(\lambda -1{)}^2.$$

${\lambda }_1={\lambda }_2=1$ 是二重特征值。

考虑齐次线性方程组 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，其系数矩阵为

E - A = 2 & -1 & 0 4 & -2 & 0 -1 & 0 & -1 , r(E - A) = 2,$$\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 4& -2& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right),r(\mathbf{E}-\mathbf{A})=2,$$

因此齐次线性方程组 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$ 的基础解系中只有一个向量，也就是说，对应于二重特征值 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，$\mathbf{A}$ 只有一个线性无关的特征向量，所以 $\mathbf{A}$ 不能对角化。

例 8 利用对角化计算矩阵的高次幂

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 2& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$，求 ${\mathbf{A}}^k$，$k$ 为正整数。

解

$\mathbf{A}$ 为下三角矩阵，主对角元素就是其特征值，$\mathbf{A}$ 的特征值两两不同，所以 $\mathbf{A}$ 可以对角化。下面将 $\mathbf{A}$ 对角化。

先求出 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量。$\mathbf{A}$ 的特征方程为

|λE - A| = λ - 1 & 0 & 0 1 & λ - 2 & 0 -1 & -1 & λ + 1 = (λ - 1)(λ - 2)(λ + 1) = 0.$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& 0& 0\\ 1& \lambda -2& 0\\ -1& -1& \lambda +1\end{array}\right|=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda +1)=0.$$

属于特征值 ${\lambda }_1=1$ 的特征向量是方程组 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，即

0 & 0 & 0 1 & -1 & 0 -1 & -1 & 2 x₁ x₂ x₃ = 0 0 0$$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& -1& 0\\ -1& -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

的非零解向量。取特征向量 ${\mathbf{p}}_1=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

属于特征值 ${\lambda }_2=2$ 的特征向量是方程组 $(2\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，即

1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 3 x₁ x₂ x₃ = 0 0 0$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ -1& -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

的非零解向量。取特征向量 ${\mathbf{p}}_2=(0,3,1{)}^{\mathrm{T}}$。

属于特征值 ${\lambda }_3=-1$ 的特征向量是方程组 $(-\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，即

-2 & 0 & 0 1 & -3 & 0 -1 & -1 & 0 x₁ x₂ x₃ = 0 0 0$$\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 1& -3& 0\\ -1& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

的非零解向量。取特征向量 ${\mathbf{p}}_3=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

令

P = (p₁, p₂, p₃) = 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1 , 则 P⁻1AP = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 = Λ, 即 A = PΛP⁻1.$$\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\text{则 }{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)=\mathbf{\Lambda },\text{ 即 }\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}.$$A^k &= (PΛP⁻1)^k = PΛ^kP⁻1 = 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 2^k & 0 0 & 0 & (-1)^k 1 & 0 & 0 -1/3 & 1/3 & 0 -2/3 & -1/3 & 1 &= 1 & 0 & 0 1 - 2^k & 2^k & 0 1 - (2^k)/(3) + frac2(-1)^(k+1)3 & frac2^k + (-1)^(k+1)3 & (-1)^k .$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^k& =(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}{)}^k=\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^k{\mathbf{P}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2^k& 0\\ 0& 0& (-1{)}^k\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& 0\\ -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1-2^k& 2^k& 0\\ 1-\frac{2^k}{3}+\frac{2(-1{)}^{k+1}}{3}& \frac{2^k+(-1{)}^{k+1}}{3}& (-1{)}^k\end{array}\right).\end{array}$$

例 9 实对称矩阵相似对角化

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -2& -1\\ -2& 3& 2\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$，求可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角形。

解

|λE - A| &= λ & 2 & 1 2 & λ - 3 & -2 1 & -2 & λ xrightarrow(-2)r₃ + r₂ λ & 2 & 1 0 & λ + 1 & -2(λ + 1) 1 & -2 & λ &= (λ + 1) λ & 2 & 1 0 & 1 & -2 1 & -2 & λ = (λ + 1)²(λ - 5).$$\begin{array}{rl}|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 1\\ 2& \lambda -3& -2\\ 1& -2& \lambda \end{array}\right|\stackrel{(-2)r_3+r_2}{\to }\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 1\\ 0& \lambda +1& -2(\lambda +1)\\ 1& -2& \lambda \end{array}\right|\\ & =(\lambda +1)\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 2& 1\\ 0& 1& -2\\ 1& -2& \lambda \end{array}\right|=(\lambda +1{)}^2(\lambda -5).\end{array}$$

$\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1=5,{\lambda }_2={\lambda }_3=-1$。

对应于特征值 ${\lambda }_1=5$ 的特征向量是方程组 $(5\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，即

5 & 2 & 1 2 & 2 & -2 1 & -2 & 5 x₁ x₂ x₃ = 0 0 0$$\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 2& 2& -2\\ 1& -2& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

的非零解向量。方程组的基础解系为 ${\mathbf{\xi }}_1=(-1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$，取 ${\mathbf{p}}_1={\mathbf{\xi }}_1$。

对应于特征值 ${\lambda }_2={\lambda }_3=-1$ 的特征向量是方程组 $(-\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$，即

-1 & 2 & 1 2 & -4 & -2 1 & -2 & -1 x₁ x₂ x₃ = 0 0 0$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 2& -4& -2\\ 1& -2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$

的非零解向量。方程组的基础解系为 ${\mathbf{\xi }}_2=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(1,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$，取 ${\mathbf{p}}_2={\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{p}}_3={\mathbf{\xi }}_3$。

令

P = (p₁, p₂, p₃) = -1 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 1 & -1 , 则 P⁻1AP = 5 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 .$$\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right),\text{则 }{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

这个例子中的矩阵 $\mathbf{A}$ 是实对称矩阵，这个矩阵 $\mathbf{A}$ 可以对角化并非偶然，实对称矩阵一定能相似于对角矩阵的，这个问题将在下一章中进行讨论。

例 10 已知方阵特征系统求转置矩阵特征系统

已知三阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值与对应的特征向量分别为 ${\lambda }_1=1,{\mathbf{p}}_1=(1,2,2{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_2=-1,{\mathbf{p}}_2=(0,1,1{)}^{\mathrm{T}};{\lambda }_3=2,{\mathbf{p}}_3=(2,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$。求 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的特征值与特征向量。

解

令

P = (p₁, p₂, p₃) = 1 & 0 & 2 2 & 1 & 1 2 & 1 & -1 , 则 P⁻1AP = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 ,$$\mathbf{P}=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,{\mathbf{p}}_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\right),\text{则 }{\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$$

即

A = P 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 P⁻1.$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right){\mathbf{P}}^{-1}.$$

两边取转置，得

A^T = (P⁻1)^T 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 P^T = (P^T)⁻1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 P^T,$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=({\mathbf{P}}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right){\mathbf{P}}^{\mathrm{T}},$$

即

P^TA^T(P^T)⁻1 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 .$${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

记 $\mathbf{Q}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，则

Q⁻1A^TQ = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 .$${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

这说明 $\mathbf{Q}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ 的三个列向量就是 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量。经计算得

Q = (P^T)⁻1 = (P⁻1)^T = 1/2 2 & -4 & 0 -2 & 5 & 1 2 & -3 & -1 .$$\mathbf{Q}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({\mathbf{P}}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 0\\ -2& 5& 1\\ 2& -3& -1\end{array}\right).$$

因此 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的特征值与对应的特征向量分别为：

• ${\lambda }_1=1,{\mathbf{\alpha }}_1=k_1(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$ ($k_1\ne 0$)；
• ${\lambda }_2=-1,{\mathbf{\alpha }}_2=k_2(-4,5,-3{)}^{\mathrm{T}}$ ($k_2\ne 0$)；
• ${\lambda }_3=2,{\mathbf{\alpha }}_3=k_3(0,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$ ($k_3\ne 0$)。

转置矩阵特征向量由逆矩阵转置给出

当矩阵 $\mathbf{A}$ 可对角化时，可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 能使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$ 为对角形的充分必要条件是 $\mathbf{P}$ 的列向量是 $\mathbf{A}$ 的特征向量。所以该例中并不要求求出 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，只要根据 ${\mathbf{Q}}^{-1}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ 为对角形，便可知 $\mathbf{Q}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ 的列向量就是 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量。

6.2 方阵的相似化简