5.2 非齐次线性方程组

非齐次线性方程组的一般形式为

a₁1x₁ + a₁2x₂ + … + a₁nxₙ = b₁, a₂1x₁ + a₂2x₂ + … + a₂nxₙ = b₂, vdots aₘ1x₁ + aₘ2x₂ + … + aₘnxₙ = bₘ. (5.7)$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

记

A = a₁1 & a₁2 & … & a₁n a₂1 & a₂2 & … & a₂n vdots & vdots & & vdots aₘ1 & aₘ2 & … & aₘn , x = x₁ x₂ vdots xₙ , b = b₁ b₂ vdots bₘ .$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right).$$

常把上述非齐次线性方程组简写成

Ax = b. (5.8)$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}.\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

把 $\mathbf{A}$ 看作由列向量组构成的矩阵，设 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$，则方程组 (5.7) 也可写成向量形式：

x₁α₁ + x₂α₂ + … + xₙαₙ = b. (5.9)$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{b}.\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

$\mathbf{A}$ 称为线性方程组的系数矩阵，分块矩阵 $\mathbf{B}=(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})$ 称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的增广矩阵。

满足 $\mathbf{A}\mathbf{\eta }=\mathbf{b}$ 的 $n$ 维列向量 $\mathbf{\eta }$ 称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解向量，可简称为它的解。若方程组有解，则称它是相容的；否则，称它是不相容的。

非齐次线性方程组未必有解，所以首先要讨论它何时有解？在确定它有解以后，再讨论它何时有唯一解？何时有无穷多个解？

一、非齐次线性方程组有解的判别定理

定理 2 非齐次线性方程组有解判别定理

$n$ 元非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解的充分必要条件是：它的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩等于它的增广矩阵 $\mathbf{B}$ 的秩，即

r(A) = r(B).$$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B}).$$

证明

必要性：若 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，则式 (5.9) 成立，这表明 $\mathbf{b}$ 能由向量组 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n\}$ 线性表出，从而向量组 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n\}$ 和 $\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{b}\}$ 等价。$\mathbf{A}$ 的列秩等于 $\mathbf{B}$ 的秩，故 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。

充分性：若 $\mathbf{A}$ 的秩与 $\mathbf{B}$ 的秩相等，即 $\mathbf{A}$ 的列向量组的极大无关组也是 $\mathbf{B}$ 的列向量组的极大无关组，则 $\mathbf{b}$ 可由 $\mathbf{A}$ 的列向量组的极大无关组线性表出，因而可由 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个列向量线性表出，有如 (5.9) 的表示式，故 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。

在非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 中令 $\mathbf{b}=0$ 得到的齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，称为与 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对应的齐次方程组，或者称为方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的导出组。

二、非齐次线性方程组解的性质与结构定理

性质 3 解之差为导出组的解

如果 ${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2$ 是非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，则 $\mathbf{\xi }={\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

证

因为 $\mathbf{A}{\mathbf{\eta }}_1=\mathbf{b},\mathbf{A}{\mathbf{\eta }}_2=\mathbf{b}$，所以有

Aξ = A(η₁ - η₂) = Aη₁ - Aη₂ = b - b = 0.$$\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\mathbf{A}({\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2)=\mathbf{A}{\mathbf{\eta }}_1-\mathbf{A}{\mathbf{\eta }}_2=\mathbf{b}-\mathbf{b}=0.$$

即 $\mathbf{\xi }={\mathbf{\eta }}_1-{\mathbf{\eta }}_2$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

性质 4 特解加导出组的解仍为解

如果 $\mathbf{\eta }$ 是非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解，$\mathbf{\xi }$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，则 $\mathbf{\xi }+\mathbf{\eta }$ 必是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解。

证

由 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0,\mathbf{A}\mathbf{\eta }=\mathbf{b}$ 得

A(ξ + η) = Aξ + Aη = 0 + b = b.$$\mathbf{A}(\mathbf{\xi }+\mathbf{\eta })=\mathbf{A}\mathbf{\xi }+\mathbf{A}\mathbf{\eta }=0+\mathbf{b}=\mathbf{b}.$$

即 $\mathbf{\xi }+\mathbf{\eta }$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解。

定理 3 非齐次线性方程组通解结构定理

设非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，则它的一般解（通解）为

x = ξ + η^*,$$\mathbf{x}=\mathbf{\xi }+{\mathbf{\eta }}^{\ast },$$

其中 ${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一个特解，$\mathbf{\xi }$ 是对应的齐次方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的一般解。

证明

由性质4 知，$\mathbf{\xi }+{\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解。

设 $\mathbf{x}$ 是方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的任一解，由性质3 知 $\mathbf{x}-{\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 是齐次方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，设 $\mathbf{x}-{\mathbf{\eta }}^{\ast }=\mathbf{\xi }$，于是就有 $\mathbf{x}=\mathbf{\xi }+{\mathbf{\eta }}^{\ast }$。

设 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩是 $r$，齐次方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的一个基础解系为 $\{{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}\}$，则 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的通解为

ξ = k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₙ-rξₙ-r,$$\mathbf{\xi }=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r},$$

从而非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一般解为

η = η^* + k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₙ-rξₙ-r. (5.10)$$\mathbf{\eta }={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r}.\text{\hspace{1em}(5.10)}$$

式 (5.10) 即为非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解。${\mathbf{\eta }}^{\ast }$ 为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一个特解。

非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 解的情形归纳如下：

1. 若 $r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{B})$，则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解；
2. 若 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=r$，则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解：
   • 当 $r=n$ 时，方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有唯一解；
   • 当 $r<n$ 时，方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有无穷多个解，其通解为式 (5.10)。

三、非齐次线性方程组的求解方法与例题

非齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的求通解方法：只用初等行变换把增广矩阵 $\mathbf{B}=(\mathbf{A}\mid \mathbf{b})$ 化成行最简形矩阵 $(\mathbf{T}\mid \mathbf{d})$，写出等价的方程组 $\mathbf{T}\mathbf{x}=\mathbf{d}$，求出其通解，此即 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解。

例 7 求非齐次线性方程组通解

求线性方程组

x₁ + 2x₂ - x₃ + 3x₄ + x₅ = 2, -x₁ - 2x₂ + x₃ - x₄ + 3x₅ = 4, 2x₁ + 4x₂ - 2x₃ + 6x₄ + 3x₅ = 6$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=2,\\ -x_1-2x_2+x_3-x_4+3x_5=4,\\ 2x_1+4x_2-2x_3+6x_4+3x_5=6\end{array}$$

的通解。

解

B &= 1 & 2 & -1 & 3 & 1 & 2 -1 & -2 & 1 & -1 & 3 & 4 2 & 4 & -2 & 6 & 3 & 6 xrightarrow[r₃ - 2r₁]r₂ + r₁ 1 & 2 & -1 & 3 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 &xrightarrow1/2r₂ 1 & 2 & -1 & 0 & -5 & -7 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 xrightarrow[r₂ - 2r₃]r₁ + 5r₃ 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 .$$\begin{array}{rl}\mathbf{B}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 3& 1& 2\\ -1& -2& 1& -1& 3& 4\\ 2& 4& -2& 6& 3& 6\end{array}\right)\underset{r_3-2r_1}{\overset{r_2+r_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 3& 1& 2\\ 0& 0& 0& 2& 4& 6\\ 0& 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right)\\ & \stackrel{\frac{1}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 0& -5& -7\\ 0& 0& 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right)\underset{r_2-2r_3}{\overset{r_1+5r_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& -1& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 2\end{array}\right).\end{array}$$

同解方程组为

x₁ = 3 - 2x₂ + x₃, x₄ = -1, x₅ = 2.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=3-2x_2+x_3,\\ x_4=-1,\\ x_5=2.\end{array}$$

取 $x_2=x_3=0$ 得到一个特解：

η^* = 3 0 0 -1 2 .$${\mathbf{\eta }}^{\ast }=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\\ -1\\ 2\end{array}\right).$$

导出组为

x₁ = -2x₂ + x₃, x₄ = 0, x₅ = 0.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_2+x_3,\\ x_4=0,\\ x_5=0.\end{array}$$

可取基础解系

ξ₁ = -2 1 0 0 0 , ξ₂ = 1 0 1 0 0 .$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

于是求得原方程组的通解

η = η^* + k₁ξ₁ + k₂ξ₂, k₁, k₂ 为任意实数.$$\mathbf{\eta }={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2,k_1,k_2\text{ 为任意实数}.$$

特解选取的自由性

求非齐次线性方程组的特解的方法是任意的，最方便的方法是把自由未知量的值都取为零。

例 8 判定无解

求解方程组

x₁ - 2x₂ + 2x₃ - x₄ = 1, 2x₁ - 4x₂ + 8x₃ = 2, -2x₁ + 4x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 3, 3x₁ - 6x₂ - 6x₄ = 4.$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+2x_3-x_4=1,\\ 2x_1-4x_2+8x_3=2,\\ -2x_1+4x_2-2x_3+3x_4=3,\\ 3x_1-6x_2-6x_4=4.\end{array}$$

解

B &= 1 & -2 & 2 & -1 & 1 2 & -4 & 8 & 0 & 2 -2 & 4 & -2 & 3 & 3 3 & -6 & 0 & -6 & 4 xrightarrow[r₄ - 3r₁, r₃ + 2r₁]r₂ - 2r₁ 1 & -2 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 4 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 5 0 & 0 & -6 & -3 & 1 &xrightarrow[r₄ + 3r₂, r₃ - r₂]1/2r₂ 1 & -2 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 xrightarrow[r₄ - r₃]1/5r₃ 1 & -2 & 2 & -1 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 .$$\begin{array}{rl}\mathbf{B}& =\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& 1\\ 2& -4& 8& 0& 2\\ -2& 4& -2& 3& 3\\ 3& -6& 0& -6& 4\end{array}\right)\underset{r_4-3r_1,r_3+2r_1}{\overset{r_2-2r_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& 1\\ 0& 0& 4& 2& 0\\ 0& 0& 2& 1& 5\\ 0& 0& -6& -3& 1\end{array}\right)\\ & \underset{r_4+3r_2,r_3-r_2}{\overset{\frac{1}{2}{r}_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& 1\\ 0& 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 5\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{r_4-r_3}{\overset{\frac{1}{5}{r}_3}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& -1& 1\\ 0& 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

因此，$r(\mathbf{A})=2,r(\mathbf{B})=3,r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{B})$，故方程组无解。

例 9 五元非齐次线性方程组通解

求下面的非齐次线性方程组的通解：

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 2, 2x₁ + 3x₂ + x₃ + x₄ - 3x₅ = 0, x₁ + 2x₃ + 2x₄ + 6x₅ = 6, 4x₁ + 5x₂ + 3x₃ + 3x₄ - x₅ = 4.$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2,\\ 2x_1+3x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\ x_1+2x_3+2x_4+6x_5=6,\\ 4x_1+5x_2+3x_3+3x_4-x_5=4.\end{array}$$

解

B &= 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 2 & 3 & 1 & 1 & -3 & 0 1 & 0 & 2 & 2 & 6 & 6 4 & 5 & 3 & 3 & -1 & 4 xrightarrow[r₄ - 4r₁, r₃ - r₁]r₂ - 2r₁ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & -1 & -1 & -5 & -4 0 & -1 & 1 & 1 & 5 & 4 0 & 1 & -1 & -1 & -5 & -4 &xrightarrow[r₄ - r₂, r₃ + r₂]r₁ - r₂ 1 & 0 & 2 & 2 & 6 & 6 0 & 1 & -1 & -1 & -5 & -4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 .$$\begin{array}{rl}\mathbf{B}& =\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 2\\ 2& 3& 1& 1& -3& 0\\ 1& 0& 2& 2& 6& 6\\ 4& 5& 3& 3& -1& 4\end{array}\right)\underset{r_4-4r_1,r_3-r_1}{\overset{r_2-2r_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 2\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\\ 0& -1& 1& 1& 5& 4\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\end{array}\right)\\ & \underset{r_4-r_2,r_3+r_2}{\overset{r_1-r_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 2& 6& 6\\ 0& 1& -1& -1& -5& -4\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

得同解方程组

x₁ = -2x₃ - 2x₄ - 6x₅ + 6, x₂ = x₃ + x₄ + 5x₅ - 4, x₃ = x₃, x₄ = x₄, x₅ = x₅.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_3-2x_4-6x_5+6,\\ x_2=x_3+x_4+5x_5-4,\\ x_3=x_3,\\ x_4=x_4,\\ x_5=x_5.\end{array}$$

通解为

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ = k₁ -2 1 1 0 0 + k₂ -2 1 0 1 0 + k₃ -6 5 0 0 1 + 6 -4 0 0 0 ,$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}-6\\ 5\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),$$

其中 $k_1,k_2,k_3$ 为任意的实数。

例 10 含参数非齐次线性方程组分类讨论

参数 $\lambda$ 为何值时，非齐次线性方程组

λ x₁ + x₂ + x₃ = 1, x₁ + λ x₂ + x₃ = λ, x₁ + x₂ + λ x₃ = λ²$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=\lambda ,\\ x_1+x_2+\lambda x_3={\lambda }^2\end{array}$$

无解？有唯一解？有无穷多个解？并求出它的通解。

解

因为方程个数与未知量个数相同，所以可以考察系数矩阵 $\mathbf{A}$ 是不是可逆矩阵。

|A| &= λ & 1 & 1 1 & λ & 1 1 & 1 & λ = (λ + 2) 1 & 1 & 1 1 & λ & 1 1 & 1 & λ &= (λ + 2) 1 & 1 & 1 0 & λ - 1 & 0 0 & 0 & λ - 1 = (λ + 2)(λ - 1)².$$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda +2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 0& 0& \lambda -1\end{array}\right|=(\lambda +2)(\lambda -1{)}^2.\end{array}$$

(1) 当 $\lambda =-2$ 时，只用初等行变换把增广矩阵化成行阶梯形矩阵：

B = -2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & -2 1 & 1 & -2 & 4 → 1 & -2 & 1 & -2 0 & -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 & 3 .$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 1\\ 1& -2& 1& -2\\ 1& 1& -2& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& -2\\ 0& -3& 3& -3\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right).$$

因为 $r(\mathbf{A})=2,r(\mathbf{B})=3,r(\mathbf{A})\ne r(\mathbf{B})$，所以方程组无解。

(2) 当 $\lambda =1$ 时，

B = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 → 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 .$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=1$，方程组有无穷多个解。同解方程组是

x₁ + x₂ + x₃ = 1,$$x_1+x_2+x_3=1,$$

有两个自由未知量。可取特解

η^* = 1 0 0 .$${\mathbf{\eta }}^{\ast }=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

它的导出组 $x_1+x_2+x_3=0$ 的基础解系可以取为

ξ₁ = -1 1 0 , ξ₂ = -1 0 1 .$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

所以线性方程组的通解为

η = η^* + k₁ξ₁ + k₂ξ₂, k₁, k₂ 为任意实数.$$\mathbf{\eta }={\mathbf{\eta }}^{\ast }+k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2,k_1,k_2\text{ 为任意实数}.$$

(3) 当 $\lambda \ne 1$ 且 $\lambda \ne -2$ 时，$\mathbf{A}$ 是可逆矩阵。线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 必有唯一解。为了求出唯一解，可以用初等行变换把增广矩阵化成行最简形矩阵。注意到 $\lambda -1\ne 0,\lambda +2\ne 0$，有

1 & 1 & λ & λ² 1 & λ & 1 & λ λ & 1 & 1 & 1 &xrightarrow[r₃ - λ r₁]r₂ - r₁ 1 & 1 & λ & λ² 0 & λ - 1 & 1 - λ & λ - λ² 0 & 1 - λ & 1 - λ² & 1 - λ³ &xrightarrow(1)/(λ - 1)r₂ 1 & 1 & λ & λ² 0 & 1 & -1 & -λ 0 & 1 & 1 + λ & 1 + λ + λ² xrightarrowr₃ - r₂ 1 & 1 & λ & λ² 0 & 1 & -1 & -λ 0 & 0 & 2 + λ & 1 + 2λ + λ² &xrightarrow(1)/(λ + 2)r₃ 1 & 1 & λ & λ² 0 & 1 & -1 & -λ 0 & 0 & 1 & a (这里 a = ((λ + 1)²)/(λ + 2)) &xrightarrow[r₂ + r₃]r₁ - (λ + 1)r₃ 1 & 0 & 0 & (λ - a)(λ + 1) 0 & 1 & 0 & a - λ 0 & 0 & 1 & a .$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & {\lambda }^2\\ 1& \lambda & 1& \lambda \\ \lambda & 1& 1& 1\end{array}\right)& \underset{r_3-\lambda r_1}{\overset{r_2-r_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & {\lambda }^2\\ 0& \lambda -1& 1-\lambda & \lambda -{\lambda }^2\\ 0& 1-\lambda & 1-{\lambda }^2& 1-{\lambda }^3\end{array}\right)\\ & \stackrel{\frac{1}{\lambda -1}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & {\lambda }^2\\ 0& 1& -1& -\lambda \\ 0& 1& 1+\lambda & 1+\lambda +{\lambda }^2\end{array}\right)\stackrel{r_3-r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & {\lambda }^2\\ 0& 1& -1& -\lambda \\ 0& 0& 2+\lambda & 1+2\lambda +{\lambda }^2\end{array}\right)\\ & \stackrel{\frac{1}{\lambda +2}{r}_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & {\lambda }^2\\ 0& 1& -1& -\lambda \\ 0& 0& 1& a\end{array}\right)\left(\text{这里 }a=\frac{(\lambda +1{)}^2}{\lambda +2}\right)\\ & \underset{r_2+r_3}{\overset{r_1-(\lambda +1)r_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& (\lambda -a)(\lambda +1)\\ 0& 1& 0& a-\lambda \\ 0& 0& 1& a\end{array}\right).\end{array}$$

于是求出唯一解为

x₁ = (λ + 1)(λ - a) = -(λ + 1)/(λ + 2), x₂ = a - λ = (1)/(λ + 2), x₃ = a = ((λ + 1)²)/(λ + 2).$$\{\begin{array}{l}{x}_1=(\lambda +1)(\lambda -a)=-\frac{\lambda +1}{\lambda +2},\\ x_2=a-\lambda =\frac{1}{\lambda +2},\\ x_3=a=\frac{(\lambda +1{)}^2}{\lambda +2}.\end{array}$$

5.2 非齐次线性方程组