5.1 齐次线性方程组

在工程技术领域中，大量的问题都可归结为解线性方程组。线性方程组的解的理论和求解方法，是线性代数学的核心内容。在第一章中介绍的克拉默法则，只讨论了方程个数与变量个数相同的特殊的线性方程组。本章将建立线性方程组理论：解的存在性和解的结构，以及线性方程组的通解表示法。

齐次线性方程组的一般形式为

a₁1x₁ + a₁2x₂ + … + a₁nxₙ = 0, a₂1x₁ + a₂2x₂ + … + a₂nxₙ = 0, vdots aₘ1x₁ + aₘ2x₂ + … + aₘnxₙ = 0. (5.1)$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0,\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

设

A = a₁1 & a₁2 & … & a₁n a₂1 & a₂2 & … & a₂n vdots & vdots & & vdots aₘ1 & aₘ2 & … & aₘn , x = x₁ x₂ vdots xₙ , 0 = 0 0 vdots 0 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),$$

常把上述齐次线性方程组简写成

Ax = 0. (5.2)$$\mathbf{A}\mathbf{x}=0.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

称 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 中的 $\mathbf{A}$ 为系数矩阵，$\mathbf{x}$ 为 $n$ 维未知列向量，$0$ 为 $m$ 维零列向量。

定义 1 解向量与解空间

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，满足 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$ 的 $n$ 维列向量 $\mathbf{\xi }=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n{)}^{\mathrm{T}}$ 称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解向量。

也可以把解向量 $\mathbf{\xi }$ 简称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。$n$ 维零列向量 $0$ 显然是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，称为零解。$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的其他解称为非零解。

若把 $\mathbf{A}$ 看作由列向量组构成的矩阵，设

A = (α₁, α₂, …, αₙ),$$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n),$$

则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 可表示为向量组合的形式：

x₁α₁ + x₂α₂ + … + xₙαₙ = 0. (5.3)$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0.\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

上面给出了齐次线性方程组的三种不同的形式，它们表示同一个线性方程组。

考虑由 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解的全体所组成的向量集合

S = {ξ | Aξ = 0}.$$S=\{\mathbf{\xi }\mid \mathbf{A}\mathbf{\xi }=0\}.$$

容易证明 $S$ 有以下性质：

性质 1 解的加法封闭性

若 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ 是齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，则 ${\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2$ 也是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

证明

由于 $\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1=0,\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_2=0$，必有

A(ξ₁ ± ξ₂) = Aξ₁ ± Aξ₂ = 0,$$\mathbf{A}({\mathbf{\xi }}_1\pm {\mathbf{\xi }}_2)=\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1\pm \mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_2=0,$$

所以 ${\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

性质 2 解的数乘封闭性

若 $\mathbf{\xi }$ 是齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，$k$ 是任意实数，则 $k\mathbf{\xi }$ 也是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

证明

由于 $\mathbf{A}(k\mathbf{\xi })=k\mathbf{A}\mathbf{\xi }=k\times 0=0$，所以 $k\mathbf{\xi }$ 也是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

由性质1、性质2 可得：

1. 若 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2\in S$，则 ${\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2\in S$；
2. 若 $\mathbf{\xi }\in S,k\in \mathbb{R}$，则 $k\mathbf{\xi }\in S$。

这说明集合 $S$ 对向量的加法和数乘两种运算是封闭的，且 $n$ 维零列向量 $0$ 一定是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，说明 $S$ 不是空集。因此 $S$ 构成一个向量空间。把 $S$ 称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解空间。

定义 2 基础解系

齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解空间 $S$ 中的任意一个基 $\{{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_s\}$，都称为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系。

若 $\{{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_s\}$ 为齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的一个基础解系，则必须满足两个条件：

1. ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_s$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的线性无关的解向量组；
2. 此方程组的任意一个解 $\mathbf{\xi }$，都可表为 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_s$ 的线性组合，即

ξ = k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₛξₛ,$$\mathbf{\xi }=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_s{\mathbf{\xi }}_s,$$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_s$ 是任意实数。

一、求解空间 $S$ 的基和维数

设 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(\mathbf{A})=r$，不妨设 $\mathbf{A}$ 的前 $r$ 个列向量线性无关，对 $\mathbf{A}$ 施行初等行变换把它化为行最简形矩阵 $\mathbf{B}$，设

B = 1 & 0 & … & 0 & b₁1 & … & b₁, n-r 0 & 1 & … & 0 & b₂1 & … & b₂, n-r vdots & vdots & & vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & … & 1 & bᵣ1 & … & bᵣ, n-r 0 & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 vdots & vdots & & vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & … & 0 & 0 & … & 0 ,$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& \cdots & 0& b_{11}& \cdots & b_{1,n-r}\\ 0& 1& \cdots & 0& b_{21}& \cdots & b_{2,n-r}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& b_{r1}& \cdots & b_{r,n-r}\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right),$$

以 $\mathbf{B}$ 为系数矩阵的线性方程组可化为

x₁ = -b₁1xᵣ+1 - b₁2xᵣ+2 - … - b₁, n-rxₙ, x₂ = -b₂1xᵣ+1 - b₂2xᵣ+2 - … - b₂, n-rxₙ, vdots xᵣ = -bᵣ1xᵣ+1 - bᵣ2xᵣ+2 - … - bᵣ, n-rxₙ. (5.4)$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-b_{11}{x}_{r+1}-b_{12}{x}_{r+2}-\cdots -b_{1,n-r}{x}_n,\\ x_2=-b_{21}{x}_{r+1}-b_{22}{x}_{r+2}-\cdots -b_{2,n-r}{x}_n,\\ ⋮\\ x_r=-b_{r1}{x}_{r+1}-b_{r2}{x}_{r+2}-\cdots -b_{r,n-r}{x}_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

则方程组 (5.1) 与 (5.4) 同解。在 (5.4) 中，任给 $x_{r+1},x_{r+2},\dots ,x_n$ 的一组值，则唯一确定 $x_1,x_2,\dots ,x_r$ 的值，于是就得到 (5.4) 的一个解，也就是 (5.1) 的解。令 $x_{r+1},x_{r+2},\dots ,x_n$ 取下列 $n-r$ 组数：

xᵣ+1 xᵣ+2 vdots xₙ = 1 0 vdots 0 , 0 1 vdots 0 , …, 0 0 vdots 1 ,$$\left(\begin{array}{c}{x}_{r+1}\\ x_{r+2}\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right),$$

由 (5.4) 依次可得

x₁ vdots xᵣ = -b₁1 vdots -bᵣ1 , -b₁2 vdots -bᵣ2 , …, -b₁, n-r vdots -bᵣ, n-r ,$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-b_{11}\\ ⋮\\ -b_{r1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-b_{12}\\ ⋮\\ -b_{r2}\end{array}\right),\dots ,\left(\begin{array}{c}-b_{1,n-r}\\ ⋮\\ -b_{r,n-r}\end{array}\right),$$

从而求得 (5.1) 的 $n-r$ 个解：

ξ₁ = -b₁1 vdots -bᵣ1 1 0 vdots 0 , ξ₂ = -b₁2 vdots -bᵣ2 0 1 vdots 0 , …, ξₙ-r = -b₁, n-r vdots -bᵣ, n-r 0 0 vdots 1 .$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}-b_{11}\\ ⋮\\ -b_{r1}\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-b_{12}\\ ⋮\\ -b_{r2}\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}=\left(\begin{array}{c}-b_{1,n-r}\\ ⋮\\ -b_{r,n-r}\\ 0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

下面证明 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 就是解空间 $S$ 的一个基。

由于 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 的后 $n-r$ 个分量构成的向量组线性无关，所以在每个向量前面添加 $r$ 个分量而得到的 $n-r$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 也线性无关。

设

ξ = λ₁ vdots λᵣ λᵣ+1 vdots λₙ$$\mathbf{\xi }=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_r\\ {\lambda }_{r+1}\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)$$

是方程组 (5.1) 的任一解，令

η = λᵣ+1ξ₁ + λᵣ+2ξ₂ + … + λₙξₙ-r,$$\mathbf{\eta }={\lambda }_{r+1}{\mathbf{\xi }}_1+{\lambda }_{r+2}{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{\xi }}_{n-r},$$

则 $\mathbf{\eta }$ 是 (5.1) 的解。比较 $\mathbf{\eta }$ 和 $\mathbf{\xi }$ 知，它们的后 $n-r$ 个分量对应相等，由于它们都满足方程组 (5.4)，从而知它们的前 $r$ 个分量必对应相等，因此 $\mathbf{\xi }=\mathbf{\eta }$，即

ξ = λᵣ+1ξ₁ + λᵣ+2ξ₂ + … + λₙξₙ-r.$$\mathbf{\xi }={\lambda }_{r+1}{\mathbf{\xi }}_1+{\lambda }_{r+2}{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{\xi }}_{n-r}.$$

这就证明了 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 是解空间的一个基，即基础解系。因此有

dim S = n - r.$$\dim S=n-r.$$

根据以上证明，得到下面的定理。

定理 1 齐次线性方程组通解结构定理

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，$r(\mathbf{A})=r$，则

1. $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的基础解系中的解向量个数为 $n-r$；
2. $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的任意 $n-r$ 个线性无关的解向量都是它的基础解系；
3. 设 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\dots ,{\mathbf{\xi }}_{n-r}$ 是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的任意一个基础解系，则 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的所有解为

ξ = k₁ξ₁ + k₂ξ₂ + … + kₙ-rξₙ-r, (5.5)$$\mathbf{\xi }=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_{n-r}{\mathbf{\xi }}_{n-r},\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

其中 $k_1,k_2,\dots ,k_{n-r}$ 为任意实数。

称式 (5.5) 为齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的通解。

推论 1 零解与非零解充要条件

1. 设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵，则
   • $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 只有零解 $⟺r(\mathbf{A})=n$。此时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 没有基础解系；
   • $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解 $⟺r(\mathbf{A})<n$。此时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有无穷多个基础解系。当 $m<n$ 时，必有 $r(\mathbf{A})⩽\min \{m,n\}⩽m<n$，此时 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 必有非零解，因此必有无穷多个基础解系。
2. 当 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵时，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 只有零解 $⟺|\mathbf{A}|\ne 0$；$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解 $⟺|\mathbf{A}|=0$。

证明

(1) $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 只有零解当且仅当 $S=\{0\}⟺\dim S=n-r(\mathbf{A})=0⟺n=r(\mathbf{A})$。

$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解当且仅当 $S\ne \{0\}⟺\dim S=n-r(\mathbf{A})>0⟺n>r(\mathbf{A})$。

当 $m<n$ 时，必有 $r(\mathbf{A})⩽\min \{m,n\}⩽m<n$，此时 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 必有非零解。

(2) 因为 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，所以 $r(\mathbf{A})=n⟺|\mathbf{A}|\ne 0,r(\mathbf{A})<n⟺|\mathbf{A}|=0$。

例 1 向量组线性相关性判定

当 $n>m$ 时，$n$ 个 $m$ 维向量一定线性相关。

证

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $n$ 个 $m$ 维列向量，则 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$ 是 $m\times n$ 矩阵。于是由 $r(\mathbf{A})⩽m<n$ 知道，$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 必有非零解。所以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 一定线性相关。

二、齐次线性方程组的求解方法与例题

齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的求通解方法：先把系数矩阵 $\mathbf{A}$ 用初等行变换化成行最简形矩阵 $\mathbf{T}$，则 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与 $\mathbf{T}\mathbf{x}=0$ 是同解的，只需要求出 $\mathbf{T}\mathbf{x}=0$ 的通解，它就是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的通解。

例 2 求基础解系和通解

求线性方程组

x₁ + 2x₂ + 4x₃ - 3x₄ = 0, 3x₁ + 5x₂ + 6x₃ - 4x₄ = 0, 4x₁ + 5x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 0$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+4x_3-3x_4=0,\\ 3x_1+5x_2+6x_3-4x_4=0,\\ 4x_1+5x_2-2x_3+3x_4=0\end{array}$$

的基础解系和通解。

解

将系数矩阵 $\mathbf{A}$ 用初等行变换化为行最简形：

A = 1 & 2 & 4 & -3 3 & 5 & 6 & -4 4 & 5 & -2 & 3 → 1 & 0 & -8 & 7 0 & 1 & 6 & -5 0 & 0 & 0 & 0 = T,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& -3\\ 3& 5& 6& -4\\ 4& 5& -2& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -8& 7\\ 0& 1& 6& -5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\mathbf{T},$$

得到与原方程组同解的方程组 $\mathbf{T}\mathbf{x}=0$，即

x₁ - 8x₃ + 7x₄ = 0, x₂ + 6x₃ - 5x₄ = 0,$$\{\begin{array}{l}{x}_1-8x_3+7x_4=0,\\ x_2+6x_3-5x_4=0,\end{array}$$

亦即

x₁ = 8x₃ - 7x₄, x₂ = -6x₃ + 5x₄ (x₃, x₄ 为自由未知量). (5.6)$$\{\begin{array}{l}{x}_1=8x_3-7x_4,\\ x_2=-6x_3+5x_4\end{array}(x_3,x_4\text{ 为自由未知量}).\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

令

x₃ x₄ = 1 0 , 0 1 ,$$\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right),$$

代入式 (5.6) 得

x₁ x₂ = 8 -6 , -7 5 ,$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\end{array}\right),$$

从而得到一个基础解系为

ξ₁ = 8 -6 1 0 , ξ₂ = -7 5 0 1 .$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

因此，所求的通解为

ξ = k₁ξ₁ + k₂ξ₂, k₁, k₂ 为任意实数.$$\mathbf{\xi }=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2,k_1,k_2\text{ 为任意实数}.$$

向量形式直接改写技巧

求基础解系和通解除了上述方法外，也可直接将式 (5.6) 改写为恒等式组：

x₁ = 8x₃ - 7x₄, x₂ = -6x₃ + 5x₄, x₃ = x₃, x₄ = x₄.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=8x_3-7x_4,\\ x_2=-6x_3+5x_4,\\ x_3=x_3,\\ x_4=x_4.\end{array}$$

再将它改写成向量的形式，并令 $x_3=k_1,x_4=k_2$，直接得到方程组的通解为

x₁ x₂ x₃ x₄ = k₁ 8 -6 1 0 + k₂ -7 5 0 1 , k₁, k₂ 为任意实数.$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}8\\ -6\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-7\\ 5\\ 0\\ 1\end{array}\right),k_1,k_2\text{ 为任意实数}.$$

例 3 求五元齐次线性方程组通解

求线性方程组

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0, 3x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ - 3x₅ = 0, x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x₅ = 0, 5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x₄ - x₅ = 0$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\ 3x_1+2x_2+x_3+x_4-3x_5=0,\\ x_2+2x_3+2x_4+6x_5=0,\\ 5x_1+4x_2+3x_3+3x_4-x_5=0\end{array}$$

的通解。

解

将系数矩阵 $\mathbf{A}$ 通过初等行变换化成行最简形：

A → 1 & 1 & 1 & 1 & 1 3 & 2 & 1 & 1 & -3 0 & 1 & 2 & 2 & 6 5 & 4 & 3 & 3 & -1 → 1 & 0 & -1 & -1 & -5 0 & 1 & 2 & 2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,$$\mathbf{A}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 3& 2& 1& 1& -3\\ 0& 1& 2& 2& 6\\ 5& 4& 3& 3& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& -1& -5\\ 0& 1& 2& 2& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

得到同解方程组为

x₁ = x₃ + x₄ + 5x₅, x₂ = -2x₃ - 2x₄ - 6x₅, x₃ = x₃, x₄ = x₄, x₅ = x₅.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_3+x_4+5x_5,\\ x_2=-2x_3-2x_4-6x_5,\\ x_3=x_3,\\ x_4=x_4,\\ x_5=x_5.\end{array}$$

方程组的通解为

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ = k₁ 1 -2 1 0 0 + k₂ 1 -2 0 1 0 + k₃ 5 -6 0 0 1 , k₁, k₂, k₃ 为任意实数.$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right),k_1,k_2,k_3\text{ 为任意实数}.$$

例 4 含参数齐次线性方程组非零解讨论

求 $\lambda$，使齐次线性方程组

(λ + 3)x₁ + x₂ + 2x₃ = 0, λ x₁ + (λ - 1)x₂ + x₃ = 0, 3(λ + 1)x₁ + λ x₂ + (λ + 3)x₃ = 0$$\{\begin{array}{l}(\lambda +3)x_1+x_2+2x_3=0,\\ \lambda x_1+(\lambda -1)x_2+x_3=0,\\ 3(\lambda +1)x_1+\lambda x_2+(\lambda +3)x_3=0\end{array}$$

有非零解，并求其通解。

解

首先计算系数行列式

D = λ + 3 & 1 & 2 λ & λ - 1 & 1 3(λ + 1) & λ & λ + 3 = λ²(λ - 1),$$D=\left|\begin{array}{ccc}\lambda +3& 1& 2\\ \lambda & \lambda -1& 1\\ 3(\lambda +1)& \lambda & \lambda +3\end{array}\right|={\lambda }^2(\lambda -1),$$

当 $D={\lambda }^2(\lambda -1)=0$，即当 $\lambda =0,1$ 时，方程组有非零解。

将 $\lambda =0$ 代入原方程组，得

3x₁ + x₂ + 2x₃ = 0, -x₂ + x₃ = 0, 3x₁ + x₃ = 0.$$\{\begin{array}{l}3x_1+x_2+2x_3=0,\\ -x_2+x_3=0,\\ 3x_1+x_3=0.\end{array}$$

方程组的系数矩阵

A₁ = 3 & 1 & 2 0 & -1 & 1 3 & 0 & 3 → 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 ,$${\mathbf{A}}_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 0& -1& 1\\ 3& 0& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

得同解方程组

x₁ = -x₃, x₂ = x₃, x₃ = x₃.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-x_3,\\ x_2=x_3,\\ x_3=x_3.\end{array}$$

通解为

x₁ x₂ x₃ = k -1 1 1 , k 为任意实数.$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right),k\text{ 为任意实数}.$$

将 $\lambda =1$ 代入原方程组，得

4x₁ + x₂ + 2x₃ = 0, x₁ + x₃ = 0, 6x₁ + x₂ + 4x₃ = 0.$$\{\begin{array}{l}4x_1+x_2+2x_3=0,\\ x_1+x_3=0,\\ 6x_1+x_2+4x_3=0.\end{array}$$

方程组的系数矩阵

A = 4 & 1 & 2 1 & 0 & 1 6 & 1 & 4 → 1 & 0 & 1 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ 1& 0& 1\\ 6& 1& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

同解方程组为

x₁ = -x₃, x₂ = 2x₃, x₃ = x₃,$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-x_3,\\ x_2=2x_3,\\ x_3=x_3,\end{array}$$

通解为

x₁ x₂ x₃ = k -1 2 1 , k 为任意实数.$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right),k\text{ 为任意实数}.$$

例 5 矩阵方程与非零解

设 $\mathbf{B}$ 是一个三阶非零方阵，已知 $\mathbf{B}$ 的每一个列向量都是齐次线性方程组

x₁ + 2x₂ - 2x₃ = 0, 2x₁ - x₂ + λ x₃ = 0, 3x₁ + x₂ - x₃ = 0$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=0,\\ 2x_1-x_2+\lambda x_3=0,\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$$

的解，求 $\lambda$ 的值和行列式 $|\mathbf{B}|$。

解

因为 $\mathbf{B}$ 是非零方阵，所以 $\mathbf{B}$ 中至少有一个非零列向量。又因为 $\mathbf{B}$ 的每一个列向量都是齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解，故该齐次线性方程组必有非零解，所以它的系数行列式

|A| = 1 & 2 & -2 2 & -1 & λ 3 & 1 & -1 = 5(λ - 1) = 0,$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& -1& \lambda \\ 3& 1& -1\end{array}\right|=5(\lambda -1)=0,$$

于是得 $\lambda =1$。

当 $\lambda =1$ 时，$r(\mathbf{A})=2$，解空间 $S$ 的维数 $\dim S=3-2=1$，即基础解系只含有一个解向量，因而 $\mathbf{B}$ 的三个列向量必然线性相关，得 $|\mathbf{B}|=0$。

同解定理与秩的关系

定理1 不仅是齐次线性方程组求解的理论基础，也可用于向量组线性相关性及矩阵秩的讨论。由定理1 易得下面的推论。

推论：同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相同的秩。

证：设 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与 $\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 同解，则它们必有相同的基础解系，其中所含的解向量个数相同，即得 $n-r(\mathbf{A})=n-r(\mathbf{B})⟹r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。

例 6 转置乘积矩阵的秩

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 实矩阵，证明 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})$。

证

只要证明齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 同解，从而 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A})$。

如果 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$，则显然有 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\xi }={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}0=0$。

反之，若 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$，则必有 ${\mathbf{\xi }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$，即 $(\mathbf{A}\mathbf{\xi }{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{\xi })=0$。

令 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=(a_1,a_2,\dots ,a_m{)}^{\mathrm{T}}$，$a_i$ 是实数，则有

(Aξ)^T(Aξ) = a₁² + a₂² + … + aₘ² = 0.$$(\mathbf{A}\mathbf{\xi }{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{\xi })=a_1^2+a_2^2+\cdots +a_m^2=0.$$

由于每个 $a_i$ 都是实数，所以必有 $a_1=a_2=\cdots =a_m=0$，即 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$。这就证明了 $\mathbf{\xi }$ 必是 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解。

于是有 $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A})$。

因为两个互为转置的矩阵必同秩，所以又有 $r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{A})$。

5.1 齐次线性方程组