4.5 向量空间

本节把向量的概念进一步抽象，引入一般向量空间及子空间的概念，讨论生成子空间、向量空间的基、维数以及向量在基下的坐标表示。

一、$n$ 维向量空间的概念

定义 9 向量空间

设 $V$ 是 $n$ 维向量构成的非空集合，且满足：

1. 若 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，则 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in V$；
2. 若 $\forall \mathbf{\alpha }\in V$，及 $\forall k\in \mathbf{R}$，都有 $k\mathbf{\alpha }\in V$，

则称集合 $V$ 是一个向量空间。

定义中的条件 1 称为 $V$ 对向量的加法运算封闭，条件 2 称为 $V$ 对向量的数乘运算封闭。

上述两个条件可以合并成以下条件： 对任意向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$ 和任意常数 $k,l\in \mathbf{R}$，都有 $k\mathbf{\alpha }+l\mathbf{\beta }\in V$。

例 16 全体 n 维行向量集合构成的向量空间

$n$ 维行向量的全体所构成的集合

Rⁿ = {α = (a₁, a₂, …, aₙ) | aᵢ ∈ R, i = 1, 2, …, n}$${\mathbf{R}}^n=\{\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)\mid a_i\in \mathbf{R},i=1,2,\dots ,n\}$$

构成一个向量空间，因为任意两个 $n$ 维行向量之和仍然是 $n$ 维行向量，数 $k$ 乘 $n$ 维行向量也仍然是 $n$ 维行向量，它们都属于 ${\mathbf{R}}^n$。即 ${\mathbf{R}}^n$ 对向量的加法和数与向量的乘法都封闭。

全体 $n$ 维列向量的集合也构成向量空间，仍记为 ${\mathbf{R}}^n$。

${\mathbf{R}}^n$ 关于向量加法和数乘满足封闭性。可是，关于向量加法和数乘封闭的向量集合未必是 ${\mathbf{R}}^n$ 本身。在 ${\mathbf{R}}^n$ 中存在无穷多个真子集合，它们关于向量加法和数乘也都是封闭的。

例如向量集 $\{0\}$ 关于向量的加法和数乘运算是封闭的。

再如，不难验证在三维向量空间 ${\mathbf{R}}^3=\{(a,b,c)\mid a,b,c\in \mathbf{R}\}$ 中，任意一条过原点的直线 $L$ 关于向量加法和数乘是封闭的。事实上，始点在坐标原点，终点在 $L$ 上的所有向量的线性组合一定仍然在 $L$ 上。同理可证：任意一个过原点的平面关于向量加法和数乘也是封闭的，它们都是 ${\mathbf{R}}^3$ 的真子集。

现在，引入向量空间的子空间的定义。

定义 10 子空间与零空间

设 $V_1$ 和 $V_2$ 都是向量空间，且 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间。

任何一个由 $n$ 维向量所组成的向量空间 $V$ 都满足 $V\subseteq {\mathbf{R}}^n$，于是 $V$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个子空间。为了叙述方便，常把 ${\mathbf{R}}^n$ 中的子空间简称为向量空间。它未必是 ${\mathbf{R}}^n$ 本身。

特别地，$V=\{0\}$ 是向量空间，称为零空间。

由向量空间的非空性和两个封闭性易见，在任意一个向量空间 $V$ 中一定包含零向量。事实上，由 $V$ 不是空集知道，可以任取 $\mathbf{\alpha }\in V$，则 $-\mathbf{\alpha }=(-1)\mathbf{\alpha }\in V$，于是由封闭性知 $\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })=0\in V$。我们可以把零向量称为向量空间的“原点”。

例 17 判别子集是否构成向量空间

证明 ${\mathbf{R}}^n$ 中的以下子集 $V_1,V_2$ 都是向量空间，但 $V_3$ 不是向量空间：

V₁ &= {α = (0, a₂, …, aₙ) | ∀ aᵢ ∈ R}; V₂ &= {α = (a₁, 0, a₃, 0, a₅, …, aₙ) | ∀ aᵢ ∈ R}; V₃ &= {α = (1, a₂, …, aₙ) | ∀ aᵢ ∈ R}.$$\begin{array}{rl}{V}_1& =\{\mathbf{\alpha }=(0,a_2,\dots ,a_n)\mid \forall a_i\in \mathbf{R}\};\\ V_2& =\{\mathbf{\alpha }=(a_1,0,a_3,0,a_5,\dots ,a_n)\mid \forall a_i\in \mathbf{R}\};\\ V_3& =\{\mathbf{\alpha }=(1,a_2,\dots ,a_n)\mid \forall a_i\in \mathbf{R}\}.\end{array}$$

证明

事实上，由于 $V_1$ 中的向量的特征是它的第一个分量为 0，要判别一个 $n$ 维向量是否属于 $V_1$，只需判别它的第一个分量是否为 0 即可。

在 $V_1$ 中任取两个向量 $\mathbf{\alpha }=(0,x_2,\dots ,x_n),\mathbf{\beta }=(0,y_2,\dots ,y_n)$，则对任意的数 $k$ 都有

α + β = (0, x₂ + y₂, …, xₙ + yₙ) ∈ V₁, kα = (0, kx₂, …, kxₙ) ∈ V₁.$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(0,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)\in V_1,k\mathbf{\alpha }=(0,k{x}_2,\dots ,k{x}_n)\in V_1.$$

根据向量空间的定义知 $V_1$ 是向量空间。

类似可以验证 $V_2$ 也是向量空间。

因为 $V_3$ 中任意两个向量之和的第一个分量是 2，即 $V_3$ 对加法不封闭，因此 $V_3$ 不是向量空间（也可以由 $0\notin V_3$ 直接判断 $V_3$ 不是向量空间）。

二、生成空间

为了对生成空间有个感性认识，先考察下面的例子。

例 18 两个向量生成的向量空间

设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 是两个已知的 $n$ 维向量，集合

V = {x = λα + μβ | λ, μ ∈ R}$$V=\{\mathbf{x}=\lambda \mathbf{\alpha }+\mu \mathbf{\beta }\mid \lambda ,\mu \in \mathbf{R}\}$$

是一个向量空间。因为若 ${\mathbf{x}}_1={\lambda }_1\mathbf{\alpha }+{\mu }_1\mathbf{\beta },{\mathbf{x}}_2={\lambda }_2\mathbf{\alpha }+{\mu }_2\mathbf{\beta }\in V$，则有

x₁ + x₂ = (λ₁ + λ₂)α + (μ₁ + μ₂)β ∈ V (λ₁ + λ₂, μ₁ + μ₂ ∈ R),$${\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2)\mathbf{\alpha }+({\mu }_1+{\mu }_2)\mathbf{\beta }\in V({\lambda }_1+{\lambda }_2,{\mu }_1+{\mu }_2\in \mathbf{R}),$$kx₁ = (kλ₁)α + (kμ₁)β ∈ V (kλ₁, kμ₁ ∈ R).$$k{\mathbf{x}}_1=(k{\lambda }_1)\mathbf{\alpha }+(k{\mu }_1)\mathbf{\beta }\in V(k{\lambda }_1,k{\mu }_1\in \mathbf{R}).$$

这个向量空间称为由向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 生成的向量空间。

一般地，任意取定向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m\in {\mathbf{R}}^n$，则可证明由它们的线性组合全体所组成的向量集合

V = {α = k₁α₁ + k₂α₂ + … + kₘαₘ | ∀ kⱼ ∈ R, j = 1, 2, …, m}$$V=\{\mathbf{\alpha }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m\mid \forall k_j\in \mathbf{R},j=1,2,\dots ,m\}$$

是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个向量空间，记为 $V=L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$，并称它为由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 生成的向量空间（或张成的子空间）。

三、向量空间的基与维数及向量的坐标

定义 11 向量空间的基与维数

设 $V$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个子空间，若 $V$ 中的向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 满足：

1. ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性无关；
2. $V$ 中的任意一个向量 $\mathbf{\alpha }$ 都可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性表出，即存在常数 $k_1,k_2,\dots ,k_r\in \mathbf{R}$ 使得

α = k₁α₁ + k₂α₂ + … + kᵣαᵣ,$$\mathbf{\alpha }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_r{\mathbf{\alpha }}_r,$$

则称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 为向量空间 $V$ 的一个基，其中每个 ${\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2,\dots ,r)$ 都称为基向量。

基中所含向量的个数 $r$ 称为 $V$ 的维数，记为 $\dim V=r$，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间。

零空间的维数规定为 0。

由基的定义可知，向量空间 $V$ 的一个基，实际上就是向量集合 $V$ 中的一个极大线性无关组，$V$ 的维数就是极大无关组中所含向量的个数，也即 $V$ 的秩。

例 19 空间 Rn 的基判别

${\mathbf{R}}^n$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量都是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个基。

证明

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中 $n$ 个线性无关的向量。对任意的 $\mathbf{\alpha }\in {\mathbf{R}}^n$，$n+1$ 个向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\alpha }$ 线性相关，根据定理2，$\mathbf{\alpha }$ 线性表出。由定义11 知，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表出。由定义 11 知，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个基。

由向量空间的维数的定义可知，${\mathbf{R}}^3$ 中过原点的直线是一维子空间，过原点的平面是二维子空间。

例 20 证明向量组构成 R4 的基

证明

α₁ = (1, 1, 1, 1)^T, α₂ = (1, 3, 1, 0)^T, α₃ = (1, 0, 1, 0)^T, α₄ = (1, 0, 0, 1)^T$${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(1,3,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(1,0,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_4=(1,0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$$

是 ${\mathbf{R}}^4$ 的一个基。

证明

根据例19 的结论，只要证明 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关即可。

把 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 排成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$，则

|A| = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 = -3 ≠ 0,$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\end{array}\right|=-3\ne 0,$$

由定理6 的推论1 知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 是 ${\mathbf{R}}^4$ 的一个基。

如果 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，那么，根据向量组的极大无关组的定义可知，每一个 $\mathbf{\alpha }\in V$ 一定可以唯一地表成 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 的线性组合，于是必有

V = L(α₁, α₂, …, αᵣ) = { ∑ᵢ=1^r kᵢαᵢ |dle| ∀ kᵢ ∈ R }.$$V=L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r)=\left\{\sum _{i=1}^r{k}_i{\mathbf{\alpha }}_i|\forall k_i\in \mathbf{R}\right\}.$$

这就是说，任意一个向量空间都是由它的任意一个基（即极大无关组）生成的。

例 21 求生成子空间的维数与一组基

在 ${\mathbf{R}}^4$ 中，求由向量组

α₁ = (2, 1, -1, -2)^T, α₂ = (1, 0, -3, 2)^T, α₃ = (2, 2, 1, -1)^T, α₄ = (3, 3, 3, -5)^T$${\mathbf{\alpha }}_1=(2,1,-1,-2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(1,0,-3,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(2,2,1,-1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_4=(3,3,3,-5{)}^{\mathrm{T}}$$

生成的线性子空间的维数和一组基。

解

由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 生成的子空间的维数即为该向量组的秩，其基即为该向量组的一个极大无关组。把 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 排成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$，则

A = 2 & 1 & 2 & 3 1 & 0 & 2 & 3 -1 & -3 & 1 & 3 -2 & 2 & -1 & -5 &xrightarrowr₁ ightarrow r₂ 1 & 0 & 2 & 3 2 & 1 & 2 & 3 -1 & -3 & 1 & 3 -2 & 2 & -1 & -5 &xrightarrow[r₃ + r₁, r₄ + 2r₁]r₂ - 2r₁ 1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & -2 & -3 0 & -3 & 3 & 6 0 & 2 & 3 & 1 xrightarrow[r₄ - 2r₂]r₃ + 3r₂ 1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & -3 & -3 0 & 0 & 7 & 7 &xrightarrow[-1/3r₃, 1/7r₄] 1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 xrightarrowr₄ - r₃ 1 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & -2 & -3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 .$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 2& 3\\ 1& 0& 2& 3\\ -1& -3& 1& 3\\ -2& 2& -1& -5\end{array}\right)& \stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 2& 1& 2& 3\\ -1& -3& 1& 3\\ -2& 2& -1& -5\end{array}\right)\\ & \underset{r_3+r_1,r_4+2r_1}{\overset{r_2-2r_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& -3& 3& 6\\ 0& 2& 3& 1\end{array}\right)\underset{r_4-2r_2}{\overset{r_3+3r_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& 0& -3& -3\\ 0& 0& 7& 7\end{array}\right)\\ & \underset{-\frac{1}{3}{r}_3,\frac{1}{7}{r}_4}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{r_4-r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -2& -3\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).\end{array}$$

从而，由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 生成的子空间的维数为 3，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 为其一个基。

定义 12 向量在基下的坐标

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $n$ 维向量空间的一个基，向量空间 $V$ 中的任意一个向量 $\mathbf{\alpha }$ 都可以唯一地表示为

α = x₁α₁ + x₂α₂ + … + xₙαₙ,$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n,$$

${\mathbf{\alpha }}_i(i=1,2,\dots ,n)$ 的系数构成的有序数组 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 称为向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标，记作 $(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$。

同一个向量在不同的基下有不同的坐标向量。求坐标向量的方法就是求表出系数，也就是解线性方程组。

例 22 求向量在给定基下的坐标

证明 ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(1,-2,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(2,0,5{)}^{\mathrm{T}}$ 构成 ${\mathbf{R}}^3$ 的基，并求出 $\mathbf{\beta }=(1,-1,3{)}^{\mathrm{T}}$ 在此基下的坐标。

解

将 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta }$ 排成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })$，对 $\mathbf{A}$ 施行初等行变换把它化成行最简形。若 $\mathbf{A}$ 的行最简形中前 3 列构成单位矩阵，则 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个基，且第 4 列即为 $\mathbf{\beta }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 下的坐标。

A = 1 & 1 & 2 & 1 1 & -2 & 0 & -1 2 & 0 & 5 & 3 &xrightarrow[r₃ - 2r₁]r₂ - r₁ 1 & 1 & 2 & 1 0 & -3 & -2 & -2 0 & -2 & 1 & 1 &xrightarrowr₂ - r₃ 1 & 1 & 2 & 1 0 & -1 & -3 & -3 0 & -2 & 1 & 1 xrightarrow(-1)r₂ 1 & 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 & 3 0 & -2 & 1 & 1 &xrightarrow[r₃ + 2r₂]r₁ - r₂ 1 & 0 & -1 & -2 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 7 & 7 xrightarrow1/7r₃ 1 & 0 & -1 & -2 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 1 & 1 &xrightarrow[r₂ - 3r₃]r₁ + r₃ 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 .$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 1& -2& 0& -1\\ 2& 0& 5& 3\end{array}\right)& \underset{r_3-2r_1}{\overset{r_2-r_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 0& -3& -2& -2\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_2-r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 0& -1& -3& -3\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)\stackrel{(-1)r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 3& 3\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)\\ & \underset{r_3+2r_2}{\overset{r_1-r_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 0& 1& 3& 3\\ 0& 0& 7& 7\end{array}\right)\stackrel{\frac{1}{7}{r}_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 0& 1& 3& 3\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right)\\ & \underset{r_2-3r_3}{\overset{r_1+r_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right).\end{array}$$

从而 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 的一个基，且 $\mathbf{\beta }=-{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_3$，即 $\mathbf{\beta }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 下的坐标是 $(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

4.5 向量空间