4.3 线性相关性的判别定理

本节系统讨论判定向量组线性相关性的若干重要定理，包括部分组与整体组的相关性关系、向量组的接长与截短性质、以及利用矩阵的秩和行列式判定向量组线性相关性的方法。

一、部分相关与整体相关

首先介绍向量组中部分向量组与整个向量组线性相关性的关系。

定理 3 部分相关与整体相关定理

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性相关，则 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r,{\mathbf{\alpha }}_{r+1},\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 也线性相关。

证明

因为 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 为线性相关组，所以存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots ,k_r$ 使得

k₁α₁ + k₂α₂ + … + kᵣαᵣ = 0.$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_r{\mathbf{\alpha }}_r=0.$$

此时，有

k₁α₁ + k₂α₂ + … + kᵣαᵣ + 0·αᵣ+1 + 0·αᵣ+2 + … + 0·αₘ = 0.$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_r{\mathbf{\alpha }}_r+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_{r+1}+0\cdot {\mathbf{\alpha }}_{r+2}+\cdots +0\cdot {\mathbf{\alpha }}_m=0.$$

$k_1,k_2,\dots ,k_r,0,\dots ,0$ 这 $m$ 个数不全为零，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_r,{\mathbf{\alpha }}_{r+1},\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关。

我们常把定理3 简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”。它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”。

推论 含有零向量的向量组必线性相关

若向量组中含有零向量，则此向量组线性相关。

由此推论可知，线性无关向量组中一定不含零向量。

定理 4 向量组分量重排定理

设有两向量组

R &: αⱼ = (a₁j, a₂j, …, aₙj)^T (j = 1, 2, …, m), S &: βⱼ = (aₚ₁ j, aₚ₂ j, …, aₚₙ j)^T (j = 1, 2, …, m),$$\begin{array}{rl}R& :{\mathbf{\alpha }}_j=(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{nj}{)}^{\mathrm{T}}(j=1,2,\dots ,m),\\ S& :{\mathbf{\beta }}_j=(a_{p_{1}j},a_{p_{2}j},\dots ,a_{p_{n}j}{)}^{\mathrm{T}}(j=1,2,\dots ,m),\end{array}$$

其中 $p_1{p}_2\dots p_n$ 是自然数 $1,2,\dots ,n$ 的某个确定的排列，则向量组 $R$ 与向量组 $S$ 的线性相关性相同。

证明

向量组 $R$ 线性相关的充分必要条件是方程组

x₁α₁ + x₂α₂ + … + xₘαₘ = 0,$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=0,$$

即

x₁ a₁1 a₂1 vdots aₙ1 + x₂ a₁2 a₂2 vdots aₙ2 + … + xₘ a₁m a₂m vdots aₙm = 0 0 vdots 0 (4.2)$$x_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)+\cdots +x_m\left(\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

有非零解。

向量组 $S$ 线性相关的充分必要条件是方程组

x₁β₁ + x₂β₂ + … + xₘβₘ = 0,$$x_1{\mathbf{\beta }}_1+x_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\beta }}_m=0,$$

即

x₁ aₚ₁ 1 aₚ₂ 1 vdots aₚₙ 1 + x₂ aₚ₁ 2 aₚ₂ 2 vdots aₚₙ 2 + … + xₘ aₚ₁ m aₚ₂ m vdots aₚₙ m = 0 0 vdots 0 (4.3)$$x_1\left(\begin{array}{c}{a}_{p_{1}1}\\ a_{p_{2}1}\\ ⋮\\ a_{p_{n}1}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{a}_{p_{1}2}\\ a_{p_{2}2}\\ ⋮\\ a_{p_{n}2}\end{array}\right)+\cdots +x_m\left(\begin{array}{c}{a}_{p_{1}m}\\ a_{p_{2}m}\\ ⋮\\ a_{p_{n}m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

有非零解。

由于 $p_1{p}_2\dots p_n$ 是自然数 $1,2,\dots ,n$ 的某个确定的排列，因而方程组 (4.2) 和 (4.3) 只是方程的次序不同，因而这两个方程组是同解的。所以若向量组 $R$ 线性无关，则向量组 $S$ 也线性无关；若向量组 $R$ 线性相关，则向量组 $S$ 也线性相关。

定理4 是对列向量叙述的，对行向量显然也有相同的结论。

二、截短与接长定理

定理 5 截短与接长定理

设有两向量组，它们的前 $r$ 个分量对应相同：

R &: αⱼ = (a₁j, a₂j, …, aᵣj)^T (j = 1, 2, …, m), S &: βⱼ = (a₁j, a₂j, …, aᵣj, aᵣ+1, j)^T (j = 1, 2, …, m),$$\begin{array}{rl}R& :{\mathbf{\alpha }}_j=(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{rj}{)}^{\mathrm{T}}(j=1,2,\dots ,m),\\ S& :{\mathbf{\beta }}_j=(a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{rj},a_{r+1,j}{)}^{\mathrm{T}}(j=1,2,\dots ,m),\end{array}$$

如果 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 为线性相关组，则 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 必为线性相关组。

证明

设 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 为线性相关组，则一定存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots ,k_m$ 使得

k₁β₁ + k₂β₂ + … + kₘβₘ = 0,$$k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\beta }}_m=0,$$

即

k₁ a₁1 vdots aᵣ1 aᵣ+1, 1 + k₂ a₁2 vdots aᵣ2 aᵣ+1, 2 + … + kₘ a₁m vdots aᵣm aᵣ+1, m = 0 vdots 0 0 .$$k_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{r1}\\ a_{r+1,1}\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ ⋮\\ a_{r2}\\ a_{r+1,2}\end{array}\right)+\cdots +k_m\left(\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ ⋮\\ a_{rm}\\ a_{r+1,m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 0\end{array}\right).$$

取其前 $r$ 个等式，即

k₁α₁ + k₂α₂ + … + kₘαₘ = 0,$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0,$$

这就证明了 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 为线性相关组。

把向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 称为向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的“接长”向量组；而把向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 称为向量组 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_m$ 的“截短”向量组。

定理5 可以简述为“线性相关向量组的截短向量组必线性相关”。它的等价说法是“线性无关向量组的接长向量组必线性无关”。

推论 线性无关组接长后仍线性无关

$r$ 维向量组的每个向量添上 $n-r$ 个分量，成为 $n$ 维向量组。若 $r$ 维向量组线性无关，则 $n$ 维向量组也线性无关。

$n-r$ 次应用定理5，每次添上一个分量即得结论。

三、利用矩阵的秩判定线性相关性

向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 构成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$。由前面的讨论可知，向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关的充分必要条件是线性方程组

x₁α₁ + x₂α₂ + … + xₘαₘ = 0,$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=0,$$

即 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解。再由第 2 章的定理3 可得如下的主要定理。

定理 6 向量组线性相关性与矩阵秩的关系

向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 的秩小于向量的个数 $m$；该向量组线性无关的充分必要条件是 $r(\mathbf{A})=m$。

由定理6 可得下面的推论：

推论 1 方阵对应向量组线性无关充要条件

$n$ 个 $n$ 维向量线性无关的充分必要条件是它们构成的方阵的行列式不等于零。

推论 2 向量个数大于维数必线性相关

当 $m>n$ 时，$m$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 一定线性相关。

证明

$m$ 个 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 构成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$。由于 $\mathbf{A}$ 是 $n\times m$ 矩阵，故 $r(\mathbf{A})\le \min \{n,m\}\le n$。当 $m>n$ 时，有 $r(\mathbf{A})\le n<m$，由定理6 知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\dots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 必线性相关。

特别地，$n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。

例 9 讨论向量组的线性相关性

讨论下列向量组的线性相关性：

1. ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(0,5,-1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_4=(3,0,1{)}^{\mathrm{T}}$；
2. ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,2,3{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(2,2,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(3,4,3{)}^{\mathrm{T}}$；
3. ${\mathbf{\alpha }}_1=(1,1,1,2{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(0,2,1,3{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(3,1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

解

(1) 由于向量组所含向量的个数 $m=4$ 大于维数 $n=3$，由推论2 知，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性相关。

(2) ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 构成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。由于

|A| = 1 & 2 & 3 2 & 2 & 4 3 & 1 & 3 = 2 ≠ 0,$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 2& 4\\ 3& 1& 3\end{array}\right|=2\ne 0,$$

由推论1 故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。

(3) ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 构成矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$。用初等行变换把 $\mathbf{A}$ 化成阶梯形：

A = 1 & 0 & 3 1 & 2 & 1 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 → 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 .$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 0\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

因为 $r(\mathbf{A})=3$，等于向量个数，故由定理6 知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关。

4.3 线性相关性的判别定理