3.4 空间直线的方程

空间直线可以看作是空间两相交平面的交线，也可以看作是由直线上一点和直线的延伸方向（方向向量）唯一确定的一维几何图形。本节系统讨论空间直线的对称方程、参数方程、一般方程，研究点到直线的距离、直线间位置关系以及直线与平面的空间几何关系，最后介绍平面束方程的应用。

一、空间直线的方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就称为这条直线的方向向量。容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量。

由于过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线，所以，若已知直线 $L$ 上一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个方向向量 $\mathbf{s}=(l,m,n)$，则直线就完全确定了。设 $M(x,y,z)$ 是直线 $L$ 上的任一点，则应有 $\overrightarrow{M_{0}M}//\mathbf{s}$，于是得

overrightarrowM₀ M = ts$$\overrightarrow{M_{0}M}=t\mathbf{s}$$

上式写成坐标形式为 $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(l,m,n)$，即

x = x₀ + lt y = y₀ + mt (t 为参数) z = z₀ + nt (3.8)$$\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt(t\text{ 为参数})\\ z=z_0+nt\end{array}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

此方程称为直线 $L$ 的参数方程。

从直线的参数方程中消去参数 $t$，可得

(x - x₀)/(l) = (y - y₀)/(m) = (z - z₀)/(n) (3.9)$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

定义 14 直线的标准方程

方程 (3.9) 称为直线 $L$ 的标准方程（或点向式方程、对称方程）。直线的任一方向向量 $\mathbf{s}$ 的坐标 $l,m,n$ 都叫作该直线的一组方向数，而向量 $\mathbf{s}$ 的方向余弦叫作该直线的方向余弦。

关于分母为零的约定

当 $l,m,n$ 中有一个或两个为零时，应理解为对应的分子为零：

1. 若 $l=0,m\ne 0,n\ne 0$，标准方程理解为 $x-x_0=0$ 且 $\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$；
2. 若 $l=0,m=0,n\ne 0$，标准方程理解为 $x-x_0=0,y-y_0=0$（即平行于 $z$ 轴的直线）。

直线的一般方程与两点式方程

直线的标准方程也可等价地写成

(x - x₀)/(l) = (y - y₀)/(m) (x - x₀)/(l) = (z - z₀)/(n)$$\{\begin{array}{l}\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}\\ \frac{x-x_0}{l}=\frac{z-z_0}{n}\end{array}$$

其中每一个方程都表示一个平面，而直线 $L$ 可看成是这两个平面的交线。一般地，两相交平面的联立方程

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 (3.10)$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

表示它们的交线 $L$，称此方程为直线 $L$ 的普通方程或一般方程。

设直线 $L$ 过两个已知点 $A(x_0,y_0,z_0),B(x_1,y_1,z_1)$，取方向向量为 $\mathbf{s}=\overrightarrow{AB}=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$，代入直线的标准方程，得

(x - x₀)/(x₁ - x₀) = (y - y₀)/(y₁ - y₀) = (z - z₀)/(z₁ - z₀) (3.11)$$\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

上述方程称为直线的两点式方程。

例 20 直线点向式求法

求过点 $M_0(2,3,-5)$ 且垂直于平面 $2x+7y-2z+5=0$ 的直线方程。

解

依题意，直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 应与平面的法向量 $\mathbf{n}=(2,7,-2)$ 平行，可取

s = n = (2, 7, -2)$$\mathbf{s}=\mathbf{n}=(2,7,-2)$$

又因为点 $M_0(2,3,-5)$ 在直线 $L$ 上，所以直线 $L$ 的标准方程为

(x - 2)/(2) = (y - 3)/(7) = (z + 5)/(-2)$$\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{7}=\frac{z+5}{-2}$$

例 21 一般方程化为标准方程

已知直线 $L$ 的一般方程为

2x - 3y - z - 3 = 0 4x - 6y + 5z + 1 = 0$$\{\begin{array}{l}2x-3y-z-3=0\\ 4x-6y+5z+1=0\end{array}$$

求它的标准方程和参数方程。

解

直线的两平面的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=(2,-3,-1),{\mathbf{n}}_2=(4,-6,5)$。直线的方向向量应分别垂直于 ${\mathbf{n}}_1$ 和 ${\mathbf{n}}_2$，故 $\mathbf{s}//{\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$。取

s = n₁ × n₂ = i & j & k 2 & -3 & -1 4 & -6 & 5 = -21i - 14j + 0k$$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2& -3& -1\\ 4& -6& 5\end{array}\right|=-21\mathbf{i}-14\mathbf{j}+0\mathbf{k}$$

即 $\mathbf{s}=(-21,-14,0)$，可简化取方向向量为 $\mathbf{s}=(3,2,0)$。

现在求直线上一点 $M_0$。令 $y=0$，解方程组

2x - z - 3 = 0 4x + 5z + 1 = 0 implies x = 1 z = -1$$\{\begin{array}{l}2x-z-3=0\\ 4x+5z+1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ z=-1\end{array}$$

即 $M_0$ 为 $(1,0,-1)$。直线的标准方程为

(x - 1)/(3) = y/2 = (z + 1)/(0)$$\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{0}$$

直线的参数方程为

x = 1 + 3t y = 2t z = -1$$\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2t\\ z=-1\end{array}$$

二、与直线有关的一些问题

1. 点到直线的距离

已知直线 $L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 及直线外一点 $M_0(x_1,y_1,z_1)$。设点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 在直线 $L$ 上，点 $M_0$ 在直线 $L$ 的投影点为 $M$（图 3.21），点 $M_0$ 到直线 $L$ 的距离为 $d=|\overrightarrow{M_{0}M}|$。

图 3.21 点到直线的距离几何投影

方法一（垂面法）：过点 $M_0$ 作与直线垂直的平面 $\pi$，直线的方向向量 $\mathbf{s}=(l,m,n)$ 即为平面的法向量，求直线与平面的交点 $M$，点 $M_0$ 到点 $M$ 的距离即为所求。

例 22 垂面法求点线距离

求点 $M_0(1,-2,1)$ 到直线 $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{-2}$ 的距离。

解

过点 $M_0(1,-2,1)$ 作与直线垂直的平面 $\pi$。易见 $\pi$ 的法向量即直线的方向向量，即 $\mathbf{n}=\mathbf{s}=(1,2,-2)$。又平面过点 $M_0$，所以平面的方程为

1(x - 1) + 2(y + 2) - 2(z - 1) = 0$$1(x-1)+2(y+2)-2(z-1)=0$$

将直线的参数方程

x = t y = 1 + 2t z = -3 - 2t$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+2t\\ z=-3-2t\end{array}$$

代入平面方程中，解得 $t=-\frac{13}{9}$。再将 $t=-\frac{13}{9}$ 代入直线的参数方程中，解得直线与平面 $\pi$ 的交点坐标为 $M(-\frac{13}{9},-\frac{17}{9},-\frac{1}{9})$。点 $M_0$ 到 $M$ 的距离为

d = |overrightarrowM₀ M| = √((1 + (13)/(9))² + (-2 + (17)/(9))² + (1 + 1/9)²) = (√(65))/(3)$$d=|\overrightarrow{M_{0}M}|=\sqrt{{\left(1+\frac{13}{9}\right)}^2+{\left(-2+\frac{17}{9}\right)}^2+{\left(1+\frac{1}{9}\right)}^2}=\frac{\sqrt{65}}{3}$$

图 3.22 向量积求点到直线距离示意图

方法二（向量积面积法）：在直线 $L$ 上取点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，以向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 和 $\mathbf{s}$ 为相邻边作平行四边形（图 3.22），其中 $\mathbf{s}=\overrightarrow{M_{0}N}$，则平行四边形底边 $M_{0}N$ 上的高就是点 $M$ 到直线 $L$ 的距离，记为 $d$。由向量积模的几何意义，得

|overrightarrowM₀ M × s| = |s| · d implies d = frac|overrightarrowM₀ M × s||s| (3.12)$$|\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}|=|\mathbf{s}|\cdot d⟹d=\frac{|\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

例 23 向量积法求点线距离

求点 $M(1,1,2)$ 到直线 $L:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{2}$ 的距离。

解

在直线 $L$ 上取点 $M_0(2,3,0)$。直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{s}=(2,1,2)$。以向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 和 $\mathbf{s}$ 为相邻边作平行四边形（图 3.22），其中 $\mathbf{s}=\overrightarrow{M_{0}N}$，则平行四边形底边 $M_{0}N$ 上的高就是点 $M$ 到直线 $L$ 的距离，记为 $d$。由向量积模的几何意义，得

|overrightarrowM₀ M × s| = |s| · d implies d = frac|overrightarrowM₀ M × s||s|$$|\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}|=|\mathbf{s}|\cdot d⟹d=\frac{|\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$$

由 $\overrightarrow{M_{0}M}=(-1,-2,2)$，得

overrightarrowM₀ M × s = i & j & k -1 & -2 & 2 2 & 1 & 2 = -6i + 6j + 3k$$\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -1& -2& 2\\ 2& 1& 2\end{array}\right|=-6\mathbf{i}+6\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$

得

|overrightarrowM₀ M × s| = √((-6)² + 6² + 3²) = 9, |s| = √(2² + 1² + 2²) = 3$$|\overrightarrow{M_{0}M}\times \mathbf{s}|=\sqrt{(-6{)}^2+6^2+3^2}=9,|\mathbf{s}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3$$

于是得所求距离为 $d=\frac{9}{3}=3$。

2. 空间两直线间的位置关系

设空间两条直线的方程分别为

L₁: (x - x₁)/(l₁) = (y - y₁)/(m₁) = (z - z₁)/(n₁), L₂: (x - x₂)/(l₂) = (y - y₂)/(m₂) = (z - z₂)/(n₂)$$L_1:\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1},L_2:\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$$

取 $L_1$ 上的点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$，$L_2$ 上的点 $M_2(x_2,y_2,z_2)$，两直线的方向向量分别记为 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$，则

(1) $L_1$ 与 $L_2$ 共面 $⟺(\overrightarrow{M_1{M}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=0$；

(2) $L_1$ 与 $L_2$ 异面 $⟺(\overrightarrow{M_1{M}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)\ne 0$。

两直线 $L_1$ 与 $L_2$ 之间的夹角 $\theta$ 规定为两方向向量 ${\mathbf{s}}_1$ 和 ${\mathbf{s}}_2$ 所夹的不超过 $\frac{\pi }{2}$ 的角，于是有

cosθ = (|s₁ · s₂|)/(|s₁||s₂|) = (|l₁ l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₂|)/(√(l₁² + m₁² + n₁²)√(l₂² + m₂² + n₂²))$$\cos \theta =\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}=\frac{|l_1{l}_2+m_1{m}_2+n_1{n}_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$

3. 直线与平面的夹角

直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的夹角 $\phi$ 是指 $L$ 与它在平面上的投影直线 $L^{\prime }$ 的夹角，一般取锐角（如图 3.23 所示）。

图 3.23 直线与平面的夹角示意图

设直线方程为 $L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$，平面方程为 $\pi :Ax+By+Cz+D=0$。则直线与平面的夹角 $\phi$ 满足

sinφ = cos((π)/(2) - φ) = (|n · s|)/(|n||s|) = (|Al + Bm + Cn|)/(√(A² + B² + C²)√(l² + m² + n²))$$\sin \phi =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\phi \right)=\frac{|\mathbf{n}\cdot \mathbf{s}|}{|\mathbf{n}||\mathbf{s}|}=\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$$

例 24 两直线位置关系与交点判定

判定两直线

L₁: (x - 1)/(1) = y/1 = (z + 1)/(-1), L₂: x/1 = (y - 1)/(-1) = (z + 1)/(0)$$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1},L_2:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{0}$$

的相互位置，并求夹角 $\theta$。若两直线相交，则求出其交点。

解

两直线的方向向量分别为 ${\mathbf{s}}_1=(1,1,-1),{\mathbf{s}}_2=(1,-1,0)$，直线 $L_1$ 上取点 $M_1(1,0,-1)$，$L_2$ 上取点 $M_2(0,1,-1)$。由于

(overrightarrowM₁ M₂, s₁, s₂) = 0 - 1 & 1 - 0 & -1 - (-1) 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 = -1 & 1 & 0 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 = 0$$(\overrightarrow{M_1{M}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=\left|\begin{array}{ccc}0-1& 1-0& -1-(-1)\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right|=0$$

可知两直线是共面的。又因为

cosθ = (|1 × 1 + 1 × (-1) + (-1) × 0|)/(√(1² + 1² + (-1)²)√(1² + (-1)² + 0²)) = 0$$\cos \theta =\frac{|1\times 1+1\times (-1)+(-1)\times 0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}}=0$$

所以 $\theta =\frac{\pi }{2}$，因此两直线 $L_1$ 与 $L_2$ 是垂直相交的。

把直线 $L_1$ 的参数方程 $x=1+t,y=t,z=-1-t$ 代入 $L_2$ 中，得 $t=0$，故交点为 $(1,0,-1)$。

例 25 求与两已知直线垂直的直线方程

直线过点 $(1,2,1)$，并与下列两直线

L₁: x + 2y + 5z = 0 2x - y + z - 1 = 0 , L₂: (x - 1)/(2) = (y + 2)/(0) = z/3$$L_1:\{\begin{array}{l}x+2y+5z=0\\ 2x-y+z-1=0\end{array},L_2:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z}{3}$$

垂直，求此直线的方程。

解

过直线 $L_1$ 的两平面的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(1,2,5),{\mathbf{n}}_2=(2,-1,1)$，则 $L_1$ 的方向向量为

s₁ = n₁ × n₂ = i & j & k 1 & 2 & 5 2 & -1 & 1 = 7i + 9j - 5k$${\mathbf{s}}_1={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 5\\ 2& -1& 1\end{array}\right|=7\mathbf{i}+9\mathbf{j}-5\mathbf{k}$$

直线 $L_2$ 的方向向量为 ${\mathbf{s}}_2=(2,0,3)$。

因所求直线 $L$ 垂直于 $L_1$ 和 $L_2$，故 $L$ 的方向向量为

s = s₁ × s₂ = i & j & k 7 & 9 & -5 2 & 0 & 3 = 27i - 31j - 18k$$\mathbf{s}={\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 7& 9& -5\\ 2& 0& 3\end{array}\right|=27\mathbf{i}-31\mathbf{j}-18\mathbf{k}$$

故所求直线方程为

(x - 1)/(27) = (y - 2)/(-31) = (z - 1)/(-18)$$\frac{x-1}{27}=\frac{y-2}{-31}=\frac{z-1}{-18}$$

4. 平面束方程

若平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 不平行，则它们必相交。设它们的一般方程为

π₁: A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, π₂: A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0$${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$$

${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 的交线为直线 $L$。过 $L$ 有无穷多个平面，这些平面的集合称为由平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 所确定的平面束。该平面束的方程可以写为

λ(A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁) + μ(A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂) = 0 (3.13)$$\lambda (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+\mu (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

其中 $\lambda ,\mu$ 不同时为零。当 $\lambda \ne 0$ 时，方程也可以设为 $(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1)+{\mu }^{\prime }(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$（但不包含 ${\pi }_2$）。

例 26 平面束求投影直线方程

求直线 $L:\{\begin{array}{l}x-y+z+2=0\\ x+2y-z+5=0\end{array}$ 在平面 $\pi :2x+y-3z+1=0$ 上的投影直线的方程。

解

过 $L$ 的平面束方程为

λ(x - y + z + 2) + μ(x + 2y - z + 5) = 0$$\lambda (x-y+z+2)+\mu (x+2y-z+5)=0$$

即

(λ + μ)x + (-λ + 2μ)y + (λ - μ)z + (2λ + 5μ) = 0$$(\lambda +\mu )x+(-\lambda +2\mu )y+(\lambda -\mu )z+(2\lambda +5\mu )=0$$

平面束中任一个平面的法向量为 $\mathbf{n}=(\lambda +\mu ,-\lambda +2\mu ,\lambda -\mu )$。平面 $\pi$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_{\pi }=(2,1,-3)$。

由 $\mathbf{n}\cdot {\mathbf{n}}_{\pi }=0$，即

2(λ + μ) + (-λ + 2μ) - 3(λ - μ) = 0 implies -2λ + 7μ = 0$$2(\lambda +\mu )+(-\lambda +2\mu )-3(\lambda -\mu )=0⟹-2\lambda +7\mu =0$$

可得 $2\lambda =7\mu$。令 $\lambda =7,\mu =2$，得过直线 $L$ 且垂直于 $\pi$ 的平面方程为

9x - 3y + 5z + 24 = 0$$9x-3y+5z+24=0$$

于是 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线的方程为

2x + y - 3z + 1 = 0 9x - 3y + 5z + 24 = 0$$\{\begin{array}{l}2x+y-3z+1=0\\ 9x-3y+5z+24=0\end{array}$$

3.4 空间直线的方程