3.3 平面及其方程

在空间解析几何中，最简单的曲面就是平面，最简单的曲线就是空间直线。本节和下一节将在右手直角坐标系中，以向量为代数工具来系统建立平面与空间直线的方程，并研究它们之间的空间位置关系与度量问题。

一、平面的方程

1. 平面的点法式方程

在直角坐标系下，给定一个点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和一个非零向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$，那么就可以唯一定确一个平面 $\pi$，使 $\pi$ 通过点 $M_0$，且与 $\mathbf{n}$ 垂直（图 3.19）。向量 $\mathbf{n}$ 称为平面 $\pi$ 的法向量。

图 3.19 平面的法向量与点法式方程

设 $M(x,y,z)$ 是空间中的任一点，那么点 $M$ 在平面 $\pi$ 上的充分必要条件是向量 $\overrightarrow{M_{0}M}$ 与平面的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直，即它们的数量积等于零：

n · overrightarrowM₀ M = 0$$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{M_{0}M}=0$$

由于 $\mathbf{n}=(A,B,C),\overrightarrow{M_{0}M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，所以有

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0 (3.3)$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

定义 13 平面的点法式方程

方程 (3.3) 是由平面 $\pi$ 上的一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 和它的一个法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 所确定的，称为平面的点法式方程。

2. 平面的一般方程

若把式 (3.3) 展开，并记常数项 $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$，则有

Ax + By + Cz + D = 0 (3.4)$$Ax+By+Cz+D=0\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

式 (3.4) 是一个三元一次方程，称为平面的一般方程。反之，任何一个三元一次方程 $Ax+By+Cz+D=0$（其中 $A,B,C$ 不全为零）都表示一个法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 的平面。

例如，方程 $2x-4y+7z-1=0$ 表示一个平面，$\mathbf{n}=(2,-4,7)$ 是这个平面的一个法向量。

特殊位置平面的方程特征

在平面的一般方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 中：

1. 平行于坐标面的平面：

   • 若 $\mathbf{n}//\mathbf{i}$，即 $B=C=0$，平面 $\pi$ 平行于 $yOz$ 平面，方程为 $Ax+D=0$ 或 $x=x_0$；
   • 若 $\mathbf{n}//\mathbf{j}$，即 $A=C=0$，平面 $\pi$ 平行于 $xOz$ 平面，方程为 $By+D=0$ 或 $y=y_0$；
   • 若 $\mathbf{n}//\mathbf{k}$，即 $A=B=0$，平面 $\pi$ 平行于 $xOy$ 平面，方程为 $Cz+D=0$ 或 $z=z_0$。

2. 平行于坐标轴的平面：

   • 若 $A=0$，法向量 $\mathbf{n}=(0,B,C)\perp \mathbf{i}$，平面平行于 $x$ 轴，方程为 $By+Cz+D=0$；
   • 若 $B=0$，法向量 $\mathbf{n}=(A,0,C)\perp \mathbf{j}$，平面平行于 $y$ 轴，方程为 $Ax+Cz+D=0$；
   • 若 $C=0$，法向量 $\mathbf{n}=(A,B,0)\perp \mathbf{k}$，平面平行于 $z$ 轴，方程为 $Ax+By+D=0$。

3. 通过原点的平面：

   • 若 $D=0$，平面过坐标原点 $O(0,0,0)$，方程为 $Ax+By+Cz=0$。

4. 通过坐标轴的平面：

   • 若 $A=D=0$，平面通过 $x$ 轴，方程为 $By+Cz=0$；
   • 若 $B=D=0$，平面通过 $y$ 轴，方程为 $Ax+Cz=0$；
   • 若 $C=D=0$，平面通过 $z$ 轴，方程为 $Ax+By=0$。

例 14 求平面的点法式方程

已知一平面过点 $(-2,3,1)$，法向量为 $\mathbf{n}=(5,-2,3)$，求它的方程。

解

由平面的点法式方程，有

5(x + 2) - 2(y - 3) + 3(z - 1) = 0$$5(x+2)-2(y-3)+3(z-1)=0$$

即

5x - 2y + 3z + 13 = 0$$5x-2y+3z+13=0$$

例 15 求过空间三点的平面方程

求过三点 $M_1(1,-2,1),M_2(2,1,0),M_3(3,1,5)$ 的平面的方程。

解

先求出平面的一个法向量 $\mathbf{n}$。由于向量 $\mathbf{n}$ 与向量 $\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{M_1{M}_3}$ 都垂直，所以可取法向量为

n = overrightarrowM₁ M₂ × overrightarrowM₁ M₃$$\mathbf{n}=\overrightarrow{M_1{M}_2}\times \overrightarrow{M_1{M}_3}$$

而 $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(1,3,-1),\overrightarrow{M_1{M}_3}=(2,3,4)$，于是

n = i & j & k 1 & 3 & -1 2 & 3 & 4 = 15i - 6j - 3k$$\mathbf{n}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 3& -1\\ 2& 3& 4\end{array}\right|=15\mathbf{i}-6\mathbf{j}-3\mathbf{k}$$

根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为

15(x - 1) - 6(y + 2) - 3(z - 1) = 0$$15(x-1)-6(y+2)-3(z-1)=0$$

化简得

5x - 2y - z - 8 = 0$$5x-2y-z-8=0$$

例 16 过坐标轴与定点的平面

求过 $y$ 轴和点 $(3,-2,7)$ 的平面方程。

解

平面过 $y$ 轴，即法向量 $\mathbf{n}$ 垂直于 $y$ 轴，它在 $y$ 轴上的投影为零，即 $\mathbf{n}=(A,0,C)$，设平面 $\pi$ 的方程为

Ax + Cz + D = 0$$Ax+Cz+D=0$$

又因为平面 $\pi$ 必过原点，且又过点 $(3,-2,7)$，故有

D = 0 3A + 7C = 0 implies D = 0 C = -3/7A$$\{\begin{array}{l}D=0\\ 3A+7C=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}D=0\\ C=-\frac{3}{7}A\end{array}$$

即平面 $\pi$ 的方程为 $Ax-\frac{3}{7}Az=0$，即

7x - 3z = 0$$7x-3z=0$$

3. 平面的截距式与三点式方程

例 17 平面的截距式方程

已知一平面过三点 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$，其中 $abc\ne 0$，求该平面的方程。

解

设平面方程为 $Ax+By+Cz+D=0$。将所给三点分别代入方程，即可得

A = -D/a, B = -D/b, C = -D/c$$A=-\frac{D}{a},B=-\frac{D}{b},C=-\frac{D}{c}$$

代入原方程得

-D/ax - D/by - D/cz + D = 0$$-\frac{D}{a}x-\frac{D}{b}y-\frac{D}{c}z+D=0$$

两边同除以 $-D$，并移项后得

x/a + y/b + z/c = 1 (3.5)$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

上式称为平面的截距式方程，$a,b,c$ 称为平面在 $x,y,z$ 轴上的截距。

例 18 平面的三点式方程

已知 $P_0(x_0,y_0,z_0),A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$ 是不共线的三点，求过这三点的平面方程。

解

设 $P(x,y,z)$ 是所求平面 $\pi$ 上任一点，则 $\overrightarrow{P_{0}P},\overrightarrow{P_{0}A},\overrightarrow{P_{0}B}$ 共面。根据向量混合积公式，可得平面 $\pi$ 的方程为

x - x₀ & y - y₀ & z - z₀ x₁ - x₀ & y₁ - y₀ & z₁ - z₀ x₂ - x₀ & y₂ - y₀ & z₂ - z₀ = 0 (3.6)$$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ x_1-x_0& y_1-y_0& z_1-z_0\\ x_2-x_0& y_2-y_0& z_2-z_0\end{array}\right|=0\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

上式称为平面 $\pi$ 的三点式方程。

二、与平面相关的一些问题

1. 两平面的夹角

设有平面

π₁: A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, π₂: A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0$${\pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,{\pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$$

它们的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1),{\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$。规定两平面 ${\pi }_1$ 与 ${\pi }_2$ 的夹角 $\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{2})$ 为两平面法向量 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$ 所夹的不超过 $\frac{\pi }{2}$ 的角，此时有

cosθ = (|n₁ · n₂|)/(|n₁||n₂|) = (|A₁ A₂ + B₁ B₂ + C₁ C₂|)/(√(A₁² + B₁² + C₁²)√(A₂² + B₂² + C₂²))$$\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

两平面的位置关系判定

由两平面夹角公式可推出：

(1) ${\pi }_1,{\pi }_2$ 平行 $⟺\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$；

(2) ${\pi }_1,{\pi }_2$ 重合 $⟺\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$；

(3) ${\pi }_1,{\pi }_2$ 垂直 $⟺{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0⟺A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$。

例 19 计算两平面夹角

求两平面 $x-y+2z-6=0$ 和 $2x+y+2z-5=0$ 的夹角。

解

两平面的法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=(1,-1,2)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=(2,1,2)$。设两平面的夹角为 $\theta$，则有

cosθ = (|1 × 2 + (-1) × 1 + 2 × 2|)/(√(1² + (-1)² + 2²)√(2² + 1² + 2²)) = (5)/(√(6) · 3) = 1/2$$\cos \theta =\frac{|1\times 2+(-1)\times 1+2\times 2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{6}\cdot 3}=\frac{1}{2}$$

因此，所求夹角 $\theta =\frac{\pi }{3}$。

2. 点到平面的距离

设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 是平面 $\pi :Ax+By+Cz+D=0$ 外的一点，在平面 $\pi$ 上任取一点 $P(x_1,y_1,z_1)$，作 $\overrightarrow{P{P}_0}$ 在平面 $\pi$ 法向量上的投影向量 $\overrightarrow{PQ}$（图 3.20），则向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的长 $|\overrightarrow{PQ}|$ 即为 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的距离 $d$。

图 3.20 点到平面的距离几何投影图

平面 $\pi$ 的单位法向量为

n⁰ = ((A, B, C))/(√(A² + B² + C²))$${\mathbf{n}}^0=\frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

于是点 $P_0$ 到平面 $\pi$ 的距离为

d = |overrightarrowP P₀ · n⁰| &= (|(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (A, B, C)|)/(√(A² + B² + C²)) &= (|Ax₀ + By₀ + Cz₀ - (Ax₁ + By₁ + Cz₁)|)/(√(A² + B² + C²))$$\begin{array}{rl}d=|\overrightarrow{P{P}_0}\cdot {\mathbf{n}}^0|& =\frac{|(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot (A,B,C)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\ & =\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0-(A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}$$

因为点 $P(x_1,y_1,z_1)$ 在平面 $\pi$ 上，故有 $A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1=-D$。代入上式，可得点到平面的距离公式：

d = (|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|)/(√(A² + B² + C²)) (3.7)$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

点到平面距离计算

求点 $(3,2,5)$ 到平面 $\pi :x+2y-2z-3=0$ 的距离。

解

由点到平面的距离公式，得

d = (|1 × 3 + 2 × 2 - 2 × 5 - 3|)/(√(1² + 2² + (-2)²)) = (|-6|)/(3) = 2$$d=\frac{|1\times 3+2\times 2-2\times 5-3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|-6|}{3}=2$$

3.3 平面及其方程