3.2 向量的数量积、向量积、混合积

向量的线性运算是两个向量产生一个向量的运算。在物理和几何中，还常常需要研究两个向量产生一个标量、或者产生一个与之相互垂直的新向量的乘法运算。本节系统讨论向量的三种乘法：数量积（点积）、向量积（叉积）与混合积，建立它们的代数定义、几何意义与坐标行列式计算方法。

一、两向量的数量积

设一物体在常力 $\mathbf{F}$ 作用下沿直线从点 $M_1$ 移动到点 $M_2$。以 $\mathbf{s}$ 表示位移 $\overrightarrow{M_1{M}_2}$，由物理学知道，力 $\mathbf{F}$ 所做的功等于

W = |F||s|cosθ$$W=|\mathbf{F}||\mathbf{s}|\cos \theta$$

其中 $\theta$ 为 $\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{s}$ 的夹角（图 3.14）。下面除去它的物理意义，引出两个向量的数量积的定义。

图 3.14 力做功与位移向量夹角

定义 10 向量的数量积

两个向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的数量积（又称为点积或内积）是一个实数，它等于这两个向量的长度与它们的夹角 $\theta =⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }⟩$ 余弦的乘积，记作 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$ 或 $\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$，即有

(α, β) = α · β = |α||β|cosθ$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\cos \theta$$

其中 $\theta$ 的取值范围是 $0\le \theta \le \pi$。

由数量积定义可知，向量的模可表示为

|α| = √(α²) = √((α, α))$$|\mathbf{\alpha }|=\sqrt{{\mathbf{\alpha }}^2}=\sqrt{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })}$$

若 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=0$，则称 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 正交，记作 $\mathbf{\alpha }\perp \mathbf{\beta }$。两个向量正交即它们的夹角为 $\theta =\frac{\pi }{2}$。规定零向量与任意向量正交。

由于 $|\mathbf{\beta }|\cos \theta =|\mathbf{\beta }|\cos ⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }⟩$，当 $\mathbf{\alpha }\ne 0$ 时是向量 $\mathbf{\beta }$ 在向量 $\mathbf{\alpha }$ 的方向上的投影，用 ${\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\alpha }}\mathbf{\beta }$ 来表示这个投影，便有

α · β = |α|Prj_(α)β$$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\alpha }|{\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\alpha }}\mathbf{\beta }$$

同理，当 $\mathbf{\beta }\ne 0$ 时有

α · β = |β|Prj_(β)α$$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=|\mathbf{\beta }|{\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\beta }}\mathbf{\alpha }$$

这就是说，两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。

内积的基本性质

(1) 交换性：$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=(\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha })$；

(2) 齐次性：$(\lambda \mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=\lambda (\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }),\forall \lambda \in \mathbb{R}$；

(3) 可加性：$(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma })+(\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$；

(4) 非负性：$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha })=|\mathbf{\alpha }{|}^2\ge 0$，当且仅当 $\mathbf{\alpha }=0$ 时等号成立。

下面仅证明性质 (3)，性质 (1)(2)(4) 可直接由内积的定义验证：

(α + β, γ) &= |γ|Prj_(γ)(α + β) &= |γ|Prj_(γ)α + |γ|Prj_(γ)β &= (α, γ) + (β, γ)$$\begin{array}{rl}(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })& =|\mathbf{\gamma }|{\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\gamma }}(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })\\ & =|\mathbf{\gamma }|{\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\gamma }}\mathbf{\alpha }+|\mathbf{\gamma }|{\mathrm{Prj}}_{\mathbf{\gamma }}\mathbf{\beta }\\ & =(\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma })+(\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })\end{array}$$

数量积的坐标表示与夹角

设 $\mathbf{\alpha }=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k},\mathbf{\beta }=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}$。由于基本向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 两两互相垂直，所以

(i, j) = (j, k) = (k, i) = 0, (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1$$(\mathbf{i},\mathbf{j})=(\mathbf{j},\mathbf{k})=(\mathbf{k},\mathbf{i})=0,(\mathbf{i},\mathbf{i})=(\mathbf{j},\mathbf{j})=(\mathbf{k},\mathbf{k})=1$$

因而得两个向量的内积的坐标表示式：

(α, β) = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

由于 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\cos \theta$，当 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 均为非零向量时，有

cosθ = ((α, β))/(|α||β|)$$\cos \theta =\frac{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })}{|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|}$$

代入坐标表示式，就得两向量夹角余弦的坐标表示式：

cosθ = (x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂)/(√(x₁² + y₁² + z₁²)√(x₂² + y₂² + z₂²))$$\cos \theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

图 3.15 向量法证明三角形余弦定理

例 6 向量证明余弦定理

用向量证明三角形的余弦定理。

证明

在 $△ABC$ 中（图 3.15），$\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$，由内积的定义，得

c² = (a - b)² &= (a - b, a - b) &= a² + b² - 2(a, b) &= a² + b² - 2|a||b|cosangle C$$\begin{array}{rl}{c}^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2& =(\mathbf{a}-\mathbf{b},\mathbf{a}-\mathbf{b})\\ & =a^2+b^2-2(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ & =a^2+b^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \angle C\end{array}$$

二、两向量的向量积

在物理学中，一个力 $\mathbf{F}$ 作用在向量 $\mathbf{r}$ 的终点上（图 3.16），它的力矩 $\mathbf{M}$ 是一个向量，其大小为 $|\mathbf{M}|=|\mathbf{F}||\mathbf{r}|\sin \theta$，方向垂直于 $\mathbf{r},\mathbf{F}$，且 $\mathbf{M}$ 与 $\mathbf{r},\mathbf{F}$ 构成右手系。

图 3.16 力的力矩物理模型

定义 11 向量的向量积

两个向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的向量积（又称为叉积或外积）$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 是一个向量，其模是以 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 为边的平行四边形的面积，即

|α × β| = |α||β|sinlangleα, βrangle$$|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }|=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\sin ⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }⟩$$

其方向与 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 均垂直，且使 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 构成右手系（图 3.17）。

图 3.17 向量积的右手系与平行四边形面积

由定义可知，对于两个非零向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$，如果 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$，那么 $\mathbf{\alpha }//\mathbf{\beta }$；反之，如果 $\mathbf{\alpha }//\mathbf{\beta }$，那么 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$。由于可以认为零向量与任何向量都平行，因此有结论：向量 $\mathbf{\alpha }//\mathbf{\beta }$ 的充分必要条件是 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$。显然，对于任何向量 $\mathbf{\alpha }$，都有 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\alpha }=0$。

向量积的基本性质

(1) 反对称性：$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=-(\mathbf{\beta }\times \mathbf{\alpha })$；

(2) 齐次性：$(\lambda \mathbf{\alpha })\times \mathbf{\beta }=\mathbf{\alpha }\times (\lambda \mathbf{\beta })=\lambda (\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }),\lambda \in \mathbb{R}$；

(3) 分配律：$(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })\times \mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\gamma }+\mathbf{\beta }\times \mathbf{\gamma }$。

例 7 向量共线待定系数求解

设向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 不共线，若向量 $3\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta }$ 与 $k\mathbf{\alpha }+27\mathbf{\beta }$ 共线，求 $k$ 的值。

解

因为 $(3\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta })\times (k\mathbf{\alpha }+27\mathbf{\beta })=0$，即

3α × kα + 81α × β + k²β × α + 27kβ × β = 0$$3\mathbf{\alpha }\times k\mathbf{\alpha }+81\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }+k^2\mathbf{\beta }\times \mathbf{\alpha }+27k\mathbf{\beta }\times \mathbf{\beta }=0$$

由于 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\alpha }=\mathbf{\beta }\times \mathbf{\beta }=0,\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=-\mathbf{\beta }\times \mathbf{\alpha }$，所以

(81 - k²)α × β = 0$$(81-k^2)\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$$

由于 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }\ne 0$，故 $k=\pm 9$。

例 8 拉格朗日恒等式与海伦公式

证明：$(\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }{)}^2+|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }{|}^2=|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2$，并由此证明关于三角形面积的海伦（Heron）公式：

S² = s(s-a)(s-b)(s-c)$$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$$

其中 $a,b,c$ 是三角形的三边长，$s$ 是周长的一半，$S$ 表示面积。

证

因为

(α · β)² = |α|² |β|² cos²langleα, βrangle, |α × β|² = |α|² |β|² sin²langleα, βrangle$$(\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }{)}^2=|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2{\cos }^2⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }⟩,|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }{|}^2=|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2{\sin }^2⟨\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }⟩$$

所以

(α · β)² + |α × β|² = |α|² |β|²$$(\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }{)}^2+|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }{|}^2=|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2$$

设在 $△ABC$ 中，记 $\overrightarrow{BC}=\mathbf{a},\overrightarrow{CA}=\mathbf{\beta },\overrightarrow{AB}=\mathbf{\gamma },|\mathbf{a}|=a,|\mathbf{\beta }|=b,|\mathbf{\gamma }|=c$，则有

α + β + γ = 0 或 α + β = -γ$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma }=0\text{或}\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=-\mathbf{\gamma }$$

平方后移项得

α · β = 1/2(|γ|² - |α|² - |β|²)$$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=\frac{1}{2}(|\mathbf{\gamma }{|}^2-|\mathbf{\alpha }{|}^2-|\mathbf{\beta }{|}^2)$$

将它与 $S=\frac{1}{2}|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }|$ 一起代入 $|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }{|}^2=|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2-|\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }{|}^2$，得

4S² &= |α|² |β|² - 1/4(|γ|² - |α|² - |β|²)² &= a² b² - 1/4(c² - a² - b²)² &= 1/4[2ab - (c² - a² - b²)][2ab + (c² - a² - b²)] &= 1/4(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) &= 1/4 · 2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)$$\begin{array}{rl}4S^2& =|\mathbf{\alpha }{|}^2|\mathbf{\beta }{|}^2-\frac{1}{4}(|\mathbf{\gamma }{|}^2-|\mathbf{\alpha }{|}^2-|\mathbf{\beta }{|}^2{)}^2\\ & =a^2{b}^2-\frac{1}{4}(c^2-a^2-b^2{)}^2\\ & =\frac{1}{4}[2ab-(c^2-a^2-b^2)][2ab+(c^2-a^2-b^2)]\\ & =\frac{1}{4}(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)\\ & =\frac{1}{4}\cdot 2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)\end{array}$$

化简，得 $S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$。

向量积的坐标表示式

由于

i × i = j × j = k × k = 0, i × j = k, j × k = i, k × i = j$$\mathbf{i}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}\times \mathbf{k}=0,\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k},\mathbf{j}\times \mathbf{k}=\mathbf{i},\mathbf{k}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}$$ j × i = -k, k × j = -i, i × k = -j$$\mathbf{j}\times \mathbf{i}=-\mathbf{k},\mathbf{k}\times \mathbf{j}=-\mathbf{i},\mathbf{i}\times \mathbf{k}=-\mathbf{j}$$

设 $\mathbf{\alpha }=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k},\mathbf{\beta }=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}$，按向量积的性质可得

α × β &= (x₁i + y₁j + z₁k) × (x₂i + y₂j + z₂k) &= (y₁ z₂ - y₂ z₁)i + (x₂ z₁ - x₁ z₂)j + (x₁ y₂ - x₂ y₁)k$$\begin{array}{rl}\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }& =(x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k})\times (x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k})\\ & =(y_1{z}_2-y_2{z}_1)\mathbf{i}+(x_2{z}_1-x_1{z}_2)\mathbf{j}+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)\mathbf{k}\end{array}$$

为了便于记忆，把上式写成三阶行列式形式：

α × β = i & j & k x₁ & y₁ & z₁ x₂ & y₂ & z₂$$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$$

例 9 叉积坐标计算

设 $\mathbf{\alpha }=(-2,3,6),\mathbf{\beta }=(1,5,-2)$，求 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$。

解

α × β = i & j & k -2 & 3 & 6 1 & 5 & -2 = -36i + 2j - 13k$$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ -2& 3& 6\\ 1& 5& -2\end{array}\right|=-36\mathbf{i}+2\mathbf{j}-13\mathbf{k}$$

例 10 三角形面积计算

已知三点 $A(1,2,3),B(2,4,1),C(1,-3,5)$，求三角形 $ABC$ 的面积。

解

$△ABC$ 的面积是以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 为边的平行四边形的面积的 $\frac{1}{2}$。于是由向量积的定义，可知 $△ABC$ 的面积

S = 1/2|overrightarrowAB| · |overrightarrowAC|sinangle A = 1/2|overrightarrowAB × overrightarrowAC|$$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\sin \angle A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$$

由于 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k},\overrightarrow{AC}=-5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$，因此

overrightarrowAB × overrightarrowAC = i & j & k 1 & 2 & -2 0 & -5 & 2 = -6i - 2j - 5k$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& -2\\ 0& -5& 2\end{array}\right|=-6\mathbf{i}-2\mathbf{j}-5\mathbf{k}$$

于是

S = 1/2|-6i - 2j - 5k| = (√(65))/(2)$$S=\frac{1}{2}|-6\mathbf{i}-2\mathbf{j}-5\mathbf{k}|=\frac{\sqrt{65}}{2}$$

三、向量的混合积

定义 12 向量的混合积

已知三个向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$，先作向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 的向量积 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$，把所得得到的向量与第三个向量 $\mathbf{\gamma }$ 再作数量积 $(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }$，这样得到的数量叫作三向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 的混合积，记作 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$ 或 $[\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }]$。

混合积的基本性质

(1) 轮换对称性：$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma },\mathbf{\alpha })=(\mathbf{\gamma },\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta })$；

(2) 反号性：$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=-(\mathbf{\beta },\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma })$；

(3) 齐次性：$(k\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha },k\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },k\mathbf{\gamma })=k(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }),\forall k\in \mathbb{R}$；

(4) 分配律：$({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=({\mathbf{\alpha }}_1,\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })+({\mathbf{\alpha }}_2,\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$；

(5) 等向量律：$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\alpha },\mathbf{\gamma })=0$。

混合积的几何意义

下面讨论混合积的几何意义（图 3.18）。设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 是三个不共面的向量，过点 $O$ 作一个以 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 为棱的平行六面体，其高为 $h$，体积为 $V$，并作 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$，记 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 与 $\mathbf{\gamma }$ 的夹角为 $\theta$。

图 3.18 混合积与平行六面体体积

由于底面是平行四边形，可用 $|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }|$ 表示其面积，高应与底面垂直，因而高与 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 共线，其长度正好是 $\mathbf{\gamma }$ 在 $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 上的投影的绝对值，即

h = |γ||coslangleα × β, γrangle|$$h=|\mathbf{\gamma }||\cos ⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩|$$

因此

V &= |α × β||γ||coslangleα × β, γrangle| &= |(α × β) · γ| = |(α, β, γ)|$$\begin{array}{rl}V& =|\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }||\mathbf{\gamma }||\cos ⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩|\\ & =|(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }|=|(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })|\end{array}$$

当 $⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩<\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos ⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩>0$，即 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 符合右手坐标系，$V=(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$；当 $⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩>\frac{\pi }{2}$ 时，$\cos ⟨\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }⟩<0$，即 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 符合左手坐标系，$V=-(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$。称混合积 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$ 表示以 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 为棱的平行六面体的有向体积。

定理 3 三向量共面的混合积判别法

三个向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 共面的充分必要条件是

(α, β, γ) = 0$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=0$$

证明

必要性：若 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 共面，则当 $\mathbf{\alpha }//\mathbf{\beta }$ 时，$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=0$，显然 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }=0$。当 $\mathbf{\alpha }$ 不平行于 $\mathbf{\beta }$ 时，$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }$ 垂直于 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 所在的平面，因而 $(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\perp \mathbf{\gamma }$，有

(α, β, γ) = (α × β) · γ = 0$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }=0$$

充分性：若 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=0$，逆推也成立。

例 12 空间基底分解公式

设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 是三个不共面的向量，求空间任意向量 $\mathbf{\xi }$ 关于 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 的分解式。

解

设 $\mathbf{\xi }=x\mathbf{\alpha }+y\mathbf{\beta }+z\mathbf{\gamma }$，因为 $(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })\ne 0$，且

(ξ, β, γ) = x(α, β, γ) + y(β, β, γ) + z(γ, β, γ) = x(α, β, γ)$$(\mathbf{\xi },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=x(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })+y(\mathbf{\beta },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })+z(\mathbf{\gamma },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=x(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })$$

所以

x = ((ξ, β, γ))/((α, β, γ))$$x=\frac{(\mathbf{\xi },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })}{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })}$$

同理可得

y = ((α, ξ, γ))/((α, β, γ)), z = ((α, β, ξ))/((α, β, γ))$$y=\frac{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\xi },\mathbf{\gamma })}{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })},z=\frac{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\xi })}{(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })}$$

混合积的坐标表示式

设 $\mathbf{\alpha }=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k},\mathbf{\beta }=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k},\mathbf{\gamma }=x_3\mathbf{i}+y_3\mathbf{j}+z_3\mathbf{k}$。由

α × β = y₁ & z₁ y₂ & z₂ i - x₁ & z₁ x₂ & z₂ j + x₁ & y₁ x₂ & y₂ k$$\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta }=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& z_1\\ y_2& z_2\end{array}\right|\mathbf{i}-\left|\begin{array}{cc}{x}_1& z_1\\ x_2& z_2\end{array}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|\mathbf{k}$$

再由两向量数量积的坐标表示式，使得

(α, β, γ) = (α × β) · γ = y₁ & z₁ y₂ & z₂ x₃ - x₁ & z₁ x₂ & z₂ y₃ + x₁ & y₁ x₂ & y₂ z₃$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\alpha }\times \mathbf{\beta })\cdot \mathbf{\gamma }=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& z_1\\ y_2& z_2\end{array}\right|x_3-\left|\begin{array}{cc}{x}_1& z_1\\ x_2& z_2\end{array}\right|y_3+\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|z_3$$

或写成三阶行列式：

(α, β, γ) = x₁ & y₁ & z₁ x₂ & y₂ & z₂ x₃ & y₃ & z₃$$(\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma })=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$$

例 13 空间四面体体积公式

已知不共面的四点 $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3),D(x_4,y_4,z_4)$，求四面体的体积。

解

由立体几何知道，四面体的体积 $V_T$ 等于以向量 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{AD}$ 为棱的平行六面体的体积的六分之一，因而

V_T = 1/6|(overrightarrowAB, overrightarrowAC, overrightarrowAD)|$$V_T=\frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})|$$

由于

overrightarrowAB &= (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), overrightarrowAC &= (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁), overrightarrowAD &= (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁)$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}& =(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1),\\ \overrightarrow{AC}& =(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1),\\ \overrightarrow{AD}& =(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)\end{array}$$

所以

V_T = ± 1/6 x₂ - x₁ & y₂ - y₁ & z₂ - z₁ x₃ - x₁ & y₃ - y₁ & z₃ - z₁ x₄ - x₁ & y₄ - y₁ & z₄ - z₁$$V_T=\pm \frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\\ x_4-x_1& y_4-y_1& z_4-z_1\end{array}\right|$$

上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。

3.2 向量的数量积、向量积、混合积