2.5 初等矩阵

引进初等矩阵的目的，是用矩阵乘法来精确描述矩阵的初等变换，从而将动态的几何/消元变换操作转化为静态的代数运算法则。本节将系统定义三类初等矩阵，建立初等变换与初等矩阵相乘的基本定理，揭示可逆矩阵与初等矩阵的内在构造联系，并导出计算逆矩阵极为简捷实用的“初等行变换求逆法”。

一、初等矩阵的概念与三类基本形式

定义 14 初等矩阵

由单位矩阵 $\mathbf{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

对 $n$ 阶单位矩阵 $\mathbf{E}$ 施行三种初等变换，分别得到以下三类 $n$ 阶初等矩阵：

1. 对换初等矩阵 ${\mathbf{P}}_{ij}$：交换单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $i,j$ 两行（或列）（$i\ne j$）：

Pᵢj = 1 & & & & & & & ddots & & & & & & & 0 & … & 1 & & & & vdots & ddots & vdots & & & & 1 & … & 0 & & & & & & & ddots & & & & & & & 1 i 行 j 行 ;$${\mathbf{P}}_{ij}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& \cdots & 1& & \\ & & ⋮& \ddots & ⋮& & \\ & & 1& \cdots & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ i\text{ 行}\\ \\ j\text{ 行}\\ \\ \end{array};$$

2. 数乘初等矩阵 ${\mathbf{D}}_i(k)$：用非零常数 $k$（$k\ne 0$）乘单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $i$ 行（或列）：

Dᵢ(k) = 1 & & & & & ddots & & & & & k & & & & & ddots & & & & & 1 i 行 ;$${\mathbf{D}}_i(k)=\left(\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ & \ddots & & & \\ & & k& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ i\text{ 行}\\ \\ \end{array};$$

3. 倍加初等矩阵 ${\mathbf{T}}_{ij}(k)$：将单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上（或将第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列上）：

Tᵢj(k) = 1 & & & & & & ddots & & & & & & 1 & … & k & & & & ddots & vdots & & & & & 1 & & & & & & ddots i 行 j 行 .$${\mathbf{T}}_{ij}(k)=\left(\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& \cdots & k& \\ & & & \ddots & ⋮& \\ & & & & 1& \\ & & & & & \ddots \end{array}\right)\begin{array}{c}\\ \\ i\text{ 行}\\ \\ j\text{ 行}\\ \end{array}.$$

以上初等矩阵中，未写出的空白处元素均为 $0$。

初等矩阵记号来源与行列式

三类初等矩阵的记号分别取自：

• $\mathbf{P}$：Permutation（置换 / 对换）；
• $\mathbf{D}$：Diagonal（对角形）；
• $\mathbf{T}$：Triangular（三角形）。

利用行列式的性质容易算出三类初等矩阵的行列式：

|Pᵢj| = -1, |Dᵢ(k)| = k ≠ 0, |Tᵢj(k)| = 1.$$|{\mathbf{P}}_{ij}|=-1,|{\mathbf{D}}_i(k)|=k\ne 0,|{\mathbf{T}}_{ij}(k)|=1.$$

由此可知，三类初等矩阵的行列式均非零，因此所有初等矩阵都是可逆矩阵。

其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵：

Pᵢj⁻1 = Pᵢj, Dᵢ(k)⁻1 = Dᵢ(1/k), Tᵢj(k)⁻1 = Tᵢj(-k).$${\mathbf{P}}_{ij}^{-1}={\mathbf{P}}_{ij},{\mathbf{D}}_i(k{)}^{-1}={\mathbf{D}}_i\left(\frac{1}{k}\right),{\mathbf{T}}_{ij}(k{)}^{-1}={\mathbf{T}}_{ij}(-k).$$

二、初等变换与初等矩阵相乘的对应定理

考察初等矩阵乘一般矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 的效果：

0 & 1 1 & 0 a & b c & d = c & d a & b , a & b c & d 0 & 1 1 & 0 = b & a d & c ;$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right);$$ k & 0 0 & 1 a & b c & d = ka & kb c & d , a & b c & d k & 0 0 & 1 = ka & b kc & d ;$$\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ c& d\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ka& b\\ kc& d\end{array}\right);$$ 1 & k 0 & 1 a & b c & d = a + kc & b + kd c & d , a & b c & d 1 & k 0 & 1 = a & ka + b c & kc + d .$$\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+kc& b+kd\\ c& d\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& ka+b\\ c& kc+d\end{array}\right).$$

一般地，可以严格验证初等矩阵具有如下作用法则：

1. ${\mathbf{P}}_{ij}$ 左（右）乘 $\mathbf{A}$，即互换 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行（列）和第 $j$ 行（列）；
2. ${\mathbf{D}}_i(k)$ 左（右）乘 $\mathbf{A}$，即用非零常数 $k$ 乘 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行（列）；
3. ${\mathbf{T}}_{ij}(k)$ 左乘 $\mathbf{A}$，即把 $\mathbf{A}$ 中第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上去；${\mathbf{T}}_{ij}(k)$ 右乘 $\mathbf{A}$，即把 $\mathbf{A}$ 中第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列上去。

综上所述，可得如下基本定理：

定理 4 初等变换与初等矩阵相乘定理

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵：

1. 对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等行变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的左边乘上相应的 $m$ 阶初等矩阵；
2. 对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等列变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的右边乘上相应的 $n$ 阶初等矩阵。

三、矩阵的因子分解与等价矩阵的可逆表述

由定理4 可知，对矩阵 $\mathbf{A}$ 施行若干次初等行、列变换将其化为等价标准形，相当于在 $\mathbf{A}$ 的左边和右边分别乘上有限个初等矩阵：

Pₜ … P₂ P₁ A Q₁ Q₂ … Qₛ = Eᵣ & O O & O .$${\mathbf{P}}_t\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1\mathbf{A}{\mathbf{Q}}_1{\mathbf{Q}}_2\cdots {\mathbf{Q}}_s=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right).$$

令 $\mathbf{P}={\mathbf{P}}_t\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1$，$\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}_1{\mathbf{Q}}_2\cdots {\mathbf{Q}}_s$。由初等矩阵的可逆性知，$\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{Q}$ 均为可逆矩阵，上式即为

PAQ = Eᵣ & O O & O . (2.14)$$\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

定理 5 矩阵的等价标准形分解定理

设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使得

PAQ = Eᵣ & O O & O ,$$\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right),$$

其中 $r=r(\mathbf{A})$。

定理 6 可逆矩阵的初等因子分解

方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是：$\mathbf{A}$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积。

证明

必要性：若 $\mathbf{A}$ 是一个可逆的 $n$ 阶方阵，则 $r(\mathbf{A})=n$，其等价标准形必为单位矩阵 $\mathbf{E}$。因此存在有限个初等矩阵 ${\mathbf{Q}}_1,{\mathbf{Q}}_2,\dots ,{\mathbf{Q}}_l$，使得

Qₗ … Q₂ Q₁ A = E.$${\mathbf{Q}}_l\cdots {\mathbf{Q}}_2{\mathbf{Q}}_1\mathbf{A}=\mathbf{E}.$$

等式两边依次左乘各初等矩阵的逆矩阵，得

A = Q₁⁻1 Q₂⁻1 … Qₗ⁻1.$$\mathbf{A}={\mathbf{Q}}_1^{-1}{\mathbf{Q}}_2^{-1}\cdots {\mathbf{Q}}_l^{-1}.$$

因为初等矩阵的逆仍是初等矩阵，记 ${\mathbf{P}}_i={\mathbf{Q}}_i^{-1}$，则 ${\mathbf{P}}_i$ 均为初等矩阵，且

A = P₁ P₂ … Pₗ.$$\mathbf{A}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_l.$$

充分性：初等矩阵均为可逆矩阵，有限个可逆矩阵的乘积必可逆，故 $\mathbf{A}$ 可逆。

推论 矩阵等价的充要条件

$m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$ 的充分必要条件是：存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使得

PAQ = B.$$\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}.$$

四、初等行变换求逆矩阵方法

定理6 提供了一种极其简便、适合计算机编程实现的逆矩阵求解算法——初等行变换求逆法。

若 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积：${\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{P}}_m\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1$。由 ${\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，就有

(Pₘ … P₂ P₁)A = E, (Pₘ … P₂ P₁)E = A⁻1. (2.15)$$({\mathbf{P}}_m\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1)\mathbf{A}=\mathbf{E},({\mathbf{P}}_m\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1)\mathbf{E}={\mathbf{A}}^{-1}.\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

式 (2.15) 中第一式表示 $\mathbf{A}$ 经过有限个初等行变换化为单位矩阵 $\mathbf{E}$；第二式表示单位矩阵 $\mathbf{E}$ 经过完全相同的这一连串初等行变换化为 ${\mathbf{A}}^{-1}$。

把这两个式子并列在一起，写成构造增广矩阵的形式：

(Pₘ … P₂ P₁)(A | E) = (E | A⁻1). (2.16)$$({\mathbf{P}}_m\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1)(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})=(\mathbf{E}\mid {\mathbf{A}}^{-1}).\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

即：对 $n\times 2n$ 矩阵 $(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})$ 施行初等行变换，当左半部分 $\mathbf{A}$ 变换为单位矩阵 $\mathbf{E}$ 时，右半部分的 $\mathbf{E}$ 就同步变换成了 ${\mathbf{A}}^{-1}$。

例 27 用初等行变换求逆矩阵

求矩阵

A = 1 & -1 & 1 2 & -4 & 1 1 & -5 & 3$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -4& 1\\ 1& -5& 3\end{array}\right)$$

的逆矩阵。

解

构造分块矩阵 $(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})$ 并对其施行初等行变换：

(A | E) &= 1 & -1 & 1 & vdots & 1 & 0 & 0 2 & -4 & 1 & vdots & 0 & 1 & 0 1 & -5 & 3 & vdots & 0 & 0 & 1 &xrightarrowsubstackr₂ - 2r₁ r₃ - r₁ 1 & -1 & 1 & vdots & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -1 & vdots & -2 & 1 & 0 0 & -4 & 2 & vdots & -1 & 0 & 1 &xrightarrowr₃ - 2r₂ 1 & -1 & 1 & vdots & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -1 & vdots & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 4 & vdots & 3 & -2 & 1 &xrightarrowsubstack-1/2r₂ 1/4r₃ 1 & -1 & 1 & vdots & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1/2 & vdots & 1 & -1/2 & 0 0 & 0 & 1 & vdots & 3/4 & -1/2 & 1/4 &xrightarrowsubstackr₂ - 1/2r₃ r₁ - r₃ 1 & -1 & 0 & vdots & 1/4 & 1/2 & -1/4 0 & 1 & 0 & vdots & 5/8 & -1/4 & -1/8 0 & 0 & 1 & vdots & 3/4 & -1/2 & 1/4 &xrightarrowr₁ + r₂ 1 & 0 & 0 & vdots & 7/8 & 1/4 & -3/8 0 & 1 & 0 & vdots & 5/8 & -1/4 & -1/8 0 & 0 & 1 & vdots & 3/4 & -1/2 & 1/4 .$$\begin{array}{rl}(\mathbf{A}\mid \mathbf{E})& =\left(\begin{array}{ccccccc}1& -1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 2& -4& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 1& -5& 3& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & \stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-2r_1\\ r_3-r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{ccccccc}1& -1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& -2& -1& ⋮& -2& 1& 0\\ 0& -4& 2& ⋮& -1& 0& 1\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_3-2r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccccc}1& -1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& -2& -1& ⋮& -2& 1& 0\\ 0& 0& 4& ⋮& 3& -2& 1\end{array}\right)\\ & \stackrel{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}{r}_2\\ \frac{1}{4}{r}_3\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{ccccccc}1& -1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& \frac{1}{2}& ⋮& 1& -\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1& ⋮& \frac{3}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\\ & \stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-\frac{1}{2}{r}_3\\ r_1-r_3\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{ccccccc}1& -1& 0& ⋮& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{4}\\ 0& 1& 0& ⋮& \frac{5}{8}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}\\ 0& 0& 1& ⋮& \frac{3}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right)\\ & \stackrel{r_1+r_2}{\to }\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& ⋮& \frac{7}{8}& \frac{1}{4}& -\frac{3}{8}\\ 0& 1& 0& ⋮& \frac{5}{8}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}\\ 0& 0& 1& ⋮& \frac{3}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right).\end{array}$$

从而求得 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵为

A⁻1 = 7/8 & 1/4 & -3/8 5/8 & -1/4 & -1/8 3/4 & -1/2 & 1/4 .$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{8}& \frac{1}{4}& -\frac{3}{8}\\ \frac{5}{8}& -\frac{1}{4}& -\frac{1}{8}\\ \frac{3}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right).$$

2.5 初等矩阵