2.4 矩阵的秩与初等变换

矩阵的秩是线性代数中的核心概念之一，刻画了矩阵内部行（或列）向量之间的本质线性独立维数与结构特征。按子式定义直接计算矩阵的秩计算量庞大，为此本节引入矩阵的三种初等变换，证明初等变换不改变矩阵的秩这一核心定理，进而建立行阶梯形矩阵、行最简形矩阵与等价标准形，最后阐明利用初等行变换高效求解齐次线性方程组的算法原理。

一、矩阵的秩

对于一般的 $m\times n$ 矩阵，若行数与列数不相等，则矩阵自身不能构成行列式。为此引入矩阵的子式概念。

在 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 中，任意取定某 $k$ 行（$i_1<i_2<\cdots <i_k$）和某 $k$ 列（$j_1<j_2<\cdots <j_k$，$k\le \min \{m,n\}$），位于这些行与列交叉处的 $k^2$ 个元素按原来的相对顺序排成的 $k$ 阶行列式

aᵢ₁ j₁ & aᵢ₁ j₂ & … & aᵢ₁ jₖ aᵢ₂ j₁ & aᵢ₂ j₂ & … & aᵢ₂ jₖ vdots & vdots & ddots & vdots aᵢₖ j₁ & aᵢₖ j₂ & … & aᵢₖ jₖ$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{j}_1}& a_{i_1{j}_2}& \cdots & a_{i_1{j}_k}\\ a_{i_2{j}_1}& a_{i_2{j}_2}& \cdots & a_{i_2{j}_k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i_k{j}_1}& a_{i_k{j}_2}& \cdots & a_{i_k{j}_k}\end{array}\right|$$

称为 $\mathbf{A}$ 的一个 $k$ 阶子式。显然，在 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 中，$k$ 阶子式的总数为 ${\mathrm{C}}_m^k\times {\mathrm{C}}_n^k$。把 $\mathbf{A}$ 中对应不同 $k$ 的所有 $k$ 阶子式放在一起，可以分成值为零与值不为零两大类。值不为零的子式称为非零子式。

定义 10 矩阵的秩

设在矩阵 $\mathbf{A}$ 中有一个 $r$ 阶非零子式，且所有的 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩（rank）为 $r$，记为 $r(\mathbf{A})=r$（有时也可用 $\mathrm{rank}(\mathbf{A})$ 表示）。零矩阵的秩规定为 $0$。

矩阵秩的基本性质

由定义可以直接得到以下性质：

1. 若 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 的秩不会大于行数，也不会大于列数，即

r(A) ≤ min{m, n};$$r(\mathbf{A})\le \min \{m,n\};$$

2. $r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r(\mathbf{A})$；对于任意非零常数 $k$，有 $r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})$；
3. 若 $r(\mathbf{A})=r$，则 $\mathbf{A}$ 中所有大于 $r$ 阶的子式全为零，即 $r$ 为 $\mathbf{A}$ 中不等于零的子式的最高阶数；
4. 若 $\mathbf{A}$ 的所有 $r+1$ 阶子式全为零，则 $r(\mathbf{A})\le r$；
5. 若 $\mathbf{A}$ 中存在一个 $r$ 阶子式不为零，则 $r(\mathbf{A})\ge r$。

例 23 按定义求矩阵的秩

求矩阵

A = 2 & -3 & 8 & 2 2 & 12 & -2 & 12 1 & 3 & 1 & 4$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& -3& 8& 2\\ 2& 12& -2& 12\\ 1& 3& 1& 4\end{array}\right)$$

的秩。

解

容易算出其中的一个二阶子式

2 & -3 2 & 12 = 30 ≠ 0.$$\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 2& 12\end{array}\right|=30\ne 0.$$

而矩阵 $\mathbf{A}$ 的所有三阶子式共 ${\mathrm{C}}_3^3\times {\mathrm{C}}_4^3=4$ 个：

2 & -3 & 8 2 & 12 & -2 1 & 3 & 1 &= 0, & 2 & -3 & 2 2 & 12 & 12 1 & 3 & 4 &= 0, -3 & 8 & 2 12 & -2 & 12 3 & 1 & 4 &= 0, & 2 & 8 & 2 2 & -2 & 12 1 & 1 & 4 &= 0.$$\begin{array}{rlrl}\left|\begin{array}{ccc}2& -3& 8\\ 2& 12& -2\\ 1& 3& 1\end{array}\right|& =0,& \left|\begin{array}{ccc}2& -3& 2\\ 2& 12& 12\\ 1& 3& 4\end{array}\right|& =0,\\ \left|\begin{array}{ccc}-3& 8& 2\\ 12& -2& 12\\ 3& 1& 4\end{array}\right|& =0,& \left|\begin{array}{ccc}2& 8& 2\\ 2& -2& 12\\ 1& 1& 4\end{array}\right|& =0.\end{array}$$

因为存在二阶非零子式，且所有三阶子式全为零，所以 $r(\mathbf{A})=2$。

定义法计算秩的局限性

由上例可以看出，按定义求矩阵的秩需要计算大量行列式，非常繁琐。下面引入初等变换方法，为求矩阵的秩提供极为高效的统一工具。

二、矩阵的初等变换

定义 11 矩阵的初等变换

对矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 施行以下三种变换，称为矩阵的初等行变换：

1. 对调变换：对调 $\mathbf{A}$ 的某两行（对调 $i,j$ 两行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$）；
2. 数乘变换：用一个非零数 $k$（$k\ne 0$）乘 $\mathbf{A}$ 的某一行中的所有元素（第 $i$ 行乘 $k$，记作 $k{r}_i$）；
3. 倍加变换：把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_i+k{r}_j$）。

类似地，若将上述定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的三种初等列变换（记号用 $c$ 代替 $r$）。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

三种初等变换都是可逆变换，且其逆变换也是同类型的初等变换：

• $r_i\leftrightarrow r_j$ 的逆变换就是其自身；
• $k{r}_i$（$k\ne 0$）的逆变换为 $\frac{1}{k}{r}_i$；
• $r_i+k{r}_j$ 的逆变换为 $r_i-k{r}_j$。

定义 12 矩阵的等价

若矩阵 $\mathbf{A}$ 经过有限次初等变换变为 $\mathbf{B}$，则称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 等价，记为 $\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$。

矩阵之间的等价关系满足以下三条性质：

1. 反身性：$\mathbf{A}\cong \mathbf{A}$；
2. 对称性：若 $\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$，则 $\mathbf{B}\cong \mathbf{A}$；
3. 传递性：若 $\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$ 且 $\mathbf{B}\cong \mathbf{C}$，则 $\mathbf{A}\cong \mathbf{C}$。

定理 2 初等变换保秩定理

初等变换不改变矩阵的秩。即若 $\mathbf{A}\cong \mathbf{B}$，则 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。

证明

仅证初等行变换的情形（列变换类似）：

1. 将矩阵 $\mathbf{A}$ 的两行互换后得到矩阵 $\mathbf{B}$，由行列式性质知，$\mathbf{B}$ 的子式与 $\mathbf{A}$ 相对应的子式或者相等，或者只差一个符号，从而非零子式的最高阶数不变，即 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。
2. 将矩阵 $\mathbf{A}$ 的某一行乘某一非零数 $k$ 得到矩阵 $\mathbf{B}$，由行列式性质知，$\mathbf{B}$ 的子式或者是 $\mathbf{A}$ 相应子式的 $k$ 倍，或者相等。因为 $k\ne 0$，所以子式为零的性质不改变，因此 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。
3. 将矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上得到矩阵 $\mathbf{B}$。设 $r(\mathbf{A})=r$，为了证明 $r(\mathbf{B})=r$，先证 $r(\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})$。

若矩阵 $\mathbf{B}$ 没有阶数大于 $r$ 的子式，自然没有阶数大于 $r$ 的非零子式，因此 $r(\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})$。

若矩阵 $\mathbf{B}$ 存在 $r+1$ 阶子式，设 $D_{r+1}$ 为 $\mathbf{B}$ 的任一 $r+1$ 阶子式，分三种情况讨论：

• 若 $D_{r+1}$ 不含第 $i$ 行元素，则 $D_{r+1}$ 也是矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $r+1$ 阶子式，因 $r(\mathbf{A})=r$，故 $D_{r+1}=0$；
• 若 $D_{r+1}$ 同时包含第 $i,j$ 两行元素，则 $D_{r+1}$ 是 $\mathbf{A}$ 中相应的 $r+1$ 阶子式将含第 $j$ 行元素的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上得到的，由行列式性质，$D_{r+1}$ 的值与 $\mathbf{A}$ 中原对应子式相等，故 $D_{r+1}=0$；
• 若 $D_{r+1}$ 含第 $i$ 行元素而不含第 $j$ 行元素，按拆行性质可拆为两项：

Dᵣ+1 = Dᵣ+1^((1)) + k Dᵣ+1^((2)),$$D_{r+1}=D_{r+1}^{(1)}+k{D}_{r+1}^{(2)},$$

其中 $D_{r+1}^{(1)}$ 是 $\mathbf{A}$ 的一个 $r+1$ 阶子式，故 $D_{r+1}^{(1)}=0$；$D_{r+1}^{(2)}$ 是把第 $i$ 行元素替换为第 $j$ 行对应元素后的行列式，也是 $\mathbf{A}$ 的 $r+1$ 阶子式，故 $D_{r+1}^{(2)}=0$。从而 $D_{r+1}=0$。

以上证明了矩阵 $\mathbf{B}$ 的所有 $r+1$ 阶子式全等于零，所以 $r(\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})$。

同理，由于矩阵 $\mathbf{A}$ 可以由 $\mathbf{B}$ 施行逆初等变换得到（将第 $j$ 行的 $-k$ 倍加到第 $i$ 行），故也有 $r(\mathbf{A})\le r(\mathbf{B})$。综合两方面，得 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$。

由单次初等变换保秩，经过有限次初等变换后矩阵的秩仍不变。

三、用初等变换求矩阵的秩

例 24 初等行变换求矩阵的秩

设

A = 2 & -3 & 8 & 2 2 & 12 & -2 & 12 1 & 3 & 1 & 4 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}2& -3& 8& 2\\ 2& 12& -2& 12\\ 1& 3& 1& 4\end{array}\right),$$

求矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩。

解

对 $\mathbf{A}$ 施行初等行变换：

A xrightarrowr₁ ightarrow r₃ 1 & 3 & 1 & 4 2 & 12 & -2 & 12 2 & -3 & 8 & 2 xrightarrowsubstackr₂ - 2r₁ r₃ - 2r₁ 1 & 3 & 1 & 4 0 & 6 & -4 & 4 0 & -9 & 6 & -6 xrightarrowr₃ + 3/2r₂ 1 & 3 & 1 & 4 0 & 6 & -4 & 4 0 & 0 & 0 & 0 = B.$$\mathbf{A}\stackrel{r_1\leftrightarrow r_3}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 12& -2& 12\\ 2& -3& 8& 2\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-2r_1\\ r_3-2r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 0& 6& -4& 4\\ 0& -9& 6& -6\end{array}\right)\stackrel{r_3+\frac{3}{2}{r}_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 0& 6& -4& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\mathbf{B}.$$

在矩阵 $\mathbf{B}$ 中，所有三阶子式全为零（因为第三行全为零），且存在二阶非零子式

1 & 3 0 & 6 = 6 ≠ 0,$$\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 6\end{array}\right|=6\ne 0,$$

所以 $r(\mathbf{B})=2$。由定理2 知，$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=2$。

行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

上例中的矩阵 $\mathbf{B}$ 称为行阶梯形矩阵，其结构特征为：

1. 如果存在全零行（元素全为零的行），则全零行都位于矩阵中非零行的下方；
2. 各非零行中从左边数起的第一个非零元素（称为主元）的列指标 $j$ 随着行指标 $i$ 的递增而严格增大。

对于阶梯形矩阵，每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数。阶梯形矩阵的最高阶非零子式阶数恰好等于非零行数 $r$，因此：

r(行阶梯形矩阵) = 非零行行数.$$r(\text{行阶梯形矩阵})=\text{非零行行数}.$$

若进一步对矩阵施行初等行变换，将阶梯形矩阵的主元全部化为 $1$，且将这些主元所在列的其他元素化为 $0$，得到的矩阵称为行最简形矩阵。

进一步如果允许初等列变换，任何矩阵最终都可以化为如下的等价标准形：

A cong Eᵣ & O O & O , (2.8)$$\mathbf{A}\cong \left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

其中 ${\mathbf{E}}_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵，$r=r(\mathbf{A})$。

定义 13 满秩矩阵与降秩矩阵

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵。若 $\mathbf{A}\cong \mathbf{E}$，则称 $\mathbf{A}$ 为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。

若 $\mathbf{A}\cong \mathbf{E}$，则 $r(\mathbf{A})=n$，从而 $|\mathbf{A}|\ne 0$，即满秩矩阵就是可逆矩阵（非奇异矩阵）；降秩矩阵就是不可逆矩阵（奇异矩阵）。

例 25 矩阵的化简与标准形

求矩阵

A = 1 & 2 & 3 & 4 -1 & -1 & -4 & -2 3 & 4 & 11 & 8$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ -1& -1& -4& -2\\ 3& 4& 11& 8\end{array}\right)$$

的秩，并将其化为行阶梯形、行最简形与等价标准形。

解

对 $\mathbf{A}$ 施行初等行变换：

A xrightarrowsubstackr₂ + r₁ r₃ - 3r₁ 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & -1 & 2 0 & -2 & 2 & -4 xrightarrowr₃ + 2r₂ 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 = B₁.$$\mathbf{A}\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2+r_1\\ r_3-3r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& -2& 2& -4\end{array}\right)\stackrel{r_3+2r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{B}}_1.$$

${\mathbf{B}}_1$ 即为 $\mathbf{A}$ 的行阶梯形矩阵，非零行数为 $2$，由此可知 $r(\mathbf{A})=2$。

继续对 ${\mathbf{B}}_1$ 施行初等行变换化简：

B₁ xrightarrowr₁ - 2r₂ 1 & 0 & 5 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 = B₂.$${\mathbf{B}}_1\stackrel{r_1-2r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 5& 0\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{B}}_2.$$

${\mathbf{B}}_2$ 为 $\mathbf{A}$ 的行最简形矩阵。

再对 ${\mathbf{B}}_2$ 施行初等列变换：

B₂ xrightarrowsubstackc₃ - 5c₁ c₃ + c₂ c₄ - 2c₂ 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 = B₃.$${\mathbf{B}}_2\stackrel{\begin{array}{c}{c}_3-5c_1\\ c_3+c_2\\ c_4-2c_2\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{B}}_3.$$

${\mathbf{B}}_3$ 即为 $\mathbf{A}$ 的等价标准形 $\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_2& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$。

四、线性方程组与矩阵的初等变换

对于含有 $m$ 个方程的 $n$ 元线性方程组

a₁1x₁ + a₁2x₂ + … + a₁nxₙ = b₁, a₂1x₁ + a₂2x₂ + … + a₂nxₙ = b₂, vdots aₘ1x₁ + aₘ2x₂ + … + aₘnxₙ = bₘ, (2.9)$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

用矩阵乘法可写为

Ax = b, (2.10)$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

其中 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 称为方程组的系数矩阵，$\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 为未知量向量，$\mathbf{b}=(b_1,\dots ,b_m{)}^{\mathrm{T}}$ 为常数项向量。当 $\mathbf{b}=0$ 时，称方程组为齐次线性方程组，记作 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$。

解线性方程组的高斯消元法，在代数本质上就是对包含系数的增广矩阵（齐次时即系数矩阵）施行初等行变换。

例 26 初等行变换求解齐次线性方程组

解齐次线性方程组：

x₁ - x₂ - x₃ + x₄ = 0, & (1) x₁ - x₂ + x₃ - 3x₄ = 0, & (2) x₁ - x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 0. & (3) (2.11)$$\{\begin{array}{ll}{x}_1-x_2-x_3+x_4=0,& (1)\\ x_1-x_2+x_3-3x_4=0,& (2)\\ x_1-x_2-2x_3+3x_4=0.& (3)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

解

对系数矩阵 $\mathbf{A}$ 施行初等行变换：

A = 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & -3 1 & -1 & -2 & 3 xrightarrowsubstackr₂ - r₁ r₃ - r₁ 1 & -1 & -1 & 1 0 & 0 & 2 & -4 0 & 0 & -1 & 2 xrightarrowsubstack1/2r₂ r₃ + r₂ 1 & -1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 = B₁.$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -3\\ 1& -1& -2& 3\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}{r}_2-r_1\\ r_3-r_1\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 1\\ 0& 0& 2& -4\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right)\stackrel{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{r}_2\\ r_3+r_2\end{array}}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{B}}_1.$$

继续化为行最简形：

B₁ xrightarrowr₁ + r₂ 1 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 = B₂.$${\mathbf{B}}_1\stackrel{r_1+r_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{B}}_2.$$

${\mathbf{B}}_2$ 对应的同解方程组为

x₁ - x₂ - x₄ = 0, x₃ - 2x₄ = 0.$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_4=0,\\ x_3-2x_4=0.\end{array}$$

取 $x_2,x_4$ 为自由未知量，解得

x₁ = x₂ + x₄, x₃ = 2x₄.$$\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_4,\\ x_3=2x_4.\end{array}$$

令 $x_2=k_1,x_4=k_2$（$k_1,k_2$ 为任意实数），则方程组的通解向量形式为

x = x₁ x₂ x₃ x₄ = k₁ + k₂ k₁ 2k₂ k₂ = k₁ 1 1 0 0 + k₂ 1 0 2 1 .$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{k}_1+k_2\\ k_1\\ 2k_2\\ k_2\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\\ 1\end{array}\right).$$

定理 3 齐次线性方程组非零解判别定理

$n$ 元齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解的充分必要条件是系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩

r(A) < n.$$r(\mathbf{A})<n.$$

证明

必要性：设方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解，反证假设 $r(\mathbf{A})=n$。则 $\mathbf{A}$ 中必有一个 $n$ 阶非零子式 $D_n\ne 0$。根据克拉默法则，这 $n$ 个方程组成的方程组只有零解，与原方程组有非零解矛盾，故必有 $r(\mathbf{A})<n$。

充分性：设 $r(\mathbf{A})=r<n$，则 $\mathbf{A}$ 的行阶梯形矩阵只有 $r$ 个非零行，从而同解方程组中含有 $n-r>0$ 个自由未知量。令自由未知量取不全为零的值（例如取为 $1$），即可得到方程组的一个非零解。

推论 方程个数等于未知量个数时的非零解条件

含有 $n$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 有非零解的充分必要条件是

|A| = 0.$$|\mathbf{A}|=0.$$

2.4 矩阵的秩与初等变换