2.3 逆矩阵

在数的运算中，若 $ab=ba=1$，那么 $b$ 就是 $a$ 的倒数（逆元），即 $b=a^{-1}$。在矩阵代数中，单位矩阵 $\mathbf{E}$ 在乘法中扮演着数 $1$ 的角色。本节将类比数的逆元，引入矩阵的逆矩阵概念，探讨方阵可逆的充要条件、公式求法、核心运算法则及其在线性方程组与矩阵方程求解中的应用。

一、逆矩阵的概念

定义 8 逆矩阵与奇异/非奇异矩阵

设 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶方阵，若存在一个 $n$ 阶方阵 $\mathbf{B}$，使得

AB = BA = E$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$

（其中 $\mathbf{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵），则称 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），也可简称为可逆方阵或可逆阵，并称 $\mathbf{B}$ 为 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵。若这样的 $\mathbf{B}$ 不存在，则称 $\mathbf{A}$ 为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。

逆矩阵的唯一性与互逆性

若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是唯一的。

这是因为若 $\mathbf{B},\mathbf{C}$ 均为 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵，由定义可知 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$ 且 $\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{C}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，从而

B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.$$\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{E}=\mathbf{B}(\mathbf{A}\mathbf{C})=(\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{C}=\mathbf{E}\mathbf{C}=\mathbf{C}.$$

由于可逆矩阵 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵是唯一的，记 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵为 ${\mathbf{A}}^{-1}$。于是

AA⁻1 = A⁻1A = E.$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{E}.$$

当 $\mathbf{B}$ 为 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵时，$\mathbf{B}$ 也为可逆矩阵，且 $\mathbf{A}$ 也为 $\mathbf{B}$ 的逆矩阵，即 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 互为逆矩阵。

二、方阵可逆的充要条件与伴随矩阵

为了给出判定方阵是否可逆的准则以及计算逆矩阵的公式，首先引入伴随矩阵的概念。

定义 9 伴随矩阵

设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，$A_{ij}$ 为 $\mathbf{A}$ 的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式（$i,j=1,2,\dots ,n$），则矩阵

A^* = A₁1 & A₂1 & … & Aₙ1 A₁2 & A₂2 & … & Aₙ2 vdots & vdots & ddots & vdots A₁n & A₂n & … & Aₙn$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$

称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵，记作 ${\mathbf{A}}^{\ast }$。

伴随矩阵的构造位置注意

由伴随矩阵的定义可以看出，在构造 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵时，$A_{ij}$ 必须放在 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 中的第 $j$ 行、第 $i$ 列的交叉位置上。也就是，$\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行元素对应的代数余子式，作为 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 的第 $i$ 列元素。

定理 1 方阵可逆的充要条件

$n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵 $⟺|\mathbf{A}|\ne 0$。当 $\mathbf{A}$ 可逆时，有公式：

A⁻1 = (1)/(|A|) A^*.$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }.$$

证明

必要性：设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则存在 $n$ 阶方阵 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$。由方阵乘积的行列式性质，可得

|A| · |B| = |E| = 1,$$|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|=|\mathbf{E}|=1,$$

于是必有 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

充分性：设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵且 $|\mathbf{A}|\ne 0$。根据行列式的按行展开及代数余子式性质：

aᵢ1Aⱼ1 + aᵢ2Aⱼ2 + … + aᵢnAⱼn = |A|, & i = j, 0, & i ≠ j,$$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=\{\begin{array}{ll}|\mathbf{A}|,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}$$

所以

AA^* = a₁1 & a₁2 & … & a₁n a₂1 & a₂2 & … & a₂n vdots & vdots & ddots & vdots aₙ1 & aₙ2 & … & aₙn A₁1 & A₂1 & … & Aₙ1 A₁2 & A₂2 & … & Aₙ2 vdots & vdots & ddots & vdots A₁n & A₂n & … & Aₙn = |A| & 0 & … & 0 0 & |A| & … & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & … & |A| = |A|E.$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}|\mathbf{A}|& 0& \cdots & 0\\ 0& |\mathbf{A}|& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & |\mathbf{A}|\end{array}\right)=|\mathbf{A}|\mathbf{E}.$$

由于 $|\mathbf{A}|\ne 0$，两边同除以 $|\mathbf{A}|$ 得

A( (1)/(|A|)A^* ) = E.$$\mathbf{A}\left(\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)=\mathbf{E}.$$

同理可得

( (1)/(|A|)A^* )A = E.$$\left(\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }\right)\mathbf{A}=\mathbf{E}.$$

由矩阵可逆的定义可知，$\mathbf{A}$ 是可逆矩阵，且

A⁻1 = (1)/(|A|)A^*.$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }.$$

推论 单侧乘积为单位阵即互逆

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，并且满足 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$，则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都可逆，且 ${\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{B},{\mathbf{B}}^{-1}=\mathbf{A}$。

证明

由 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$，可得 $|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|=1$，因此 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 且 $|\mathbf{B}|\ne 0$，故由定理1 知 $\mathbf{A}$ 可逆，$\mathbf{B}$ 也可逆。

在 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$ 两边左乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{-1}$。

在 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$ 两边右乘 ${\mathbf{B}}^{-1}$，得 $\mathbf{A}={\mathbf{B}}^{-1}$。

关于单侧验证的实用意义

这个推论表明，以后在验证一个方阵是另一个方阵的逆矩阵时，只需要证明等式 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{E}$ 或 $\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$ 成立即可，而不需要按定义同时验证两个等式。

例 17 二阶方阵求逆

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，且 $ad-bc\ne 0$，求 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵。

解

因为 $|\mathbf{A}|=ad-bc\ne 0$，于是 $\mathbf{A}$ 可逆，其各元素的代数余子式为：

A₁1 = d, A₁2 = -c, A₂1 = -b, A₂2 = a.$$A_{11}=d,A_{12}=-c,A_{21}=-b,A_{22}=a.$$

故伴随矩阵为

A^* = d & -b -c & a .$${\mathbf{A}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

于是得

A⁻1 = (1)/(|A|)A^* = (1)/(ad - bc) d & -b -c & a .$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

例 18 三阶方阵伴随矩阵法求逆

求矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

解

因为

|A| = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 -3 & 2 & -5 = 2 ≠ 0,$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ -3& 2& -5\end{array}\right|=2\ne 0,$$

所以 $\mathbf{A}$ 可逆。计算各个代数余子式：

A₁1 &= (-1)¹+1 1 & 0 2 & -5 = -5, & A₁2 &= (-1)¹+2 2 & 0 -3 & -5 = 10, & A₁3 &= (-1)¹+3 2 & 1 -3 & 2 = 7, A₂1 &= (-1)²+1 0 & 1 2 & -5 = 2, & A₂2 &= (-1)²+2 1 & 1 -3 & -5 = -2, & A₂3 &= (-1)²+3 1 & 0 -3 & 2 = -2, A₃1 &= (-1)³+1 0 & 1 1 & 0 = -1, & A₃2 &= (-1)³+2 1 & 1 2 & 0 = 2, & A₃3 &= (-1)³+3 1 & 0 2 & 1 = 1.$$\begin{array}{rlrlrl}{A}_{11}& =(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -5\end{array}\right|=-5,& A_{12}& =(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ -3& -5\end{array}\right|=10,& A_{13}& =(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 2\end{array}\right|=7,\\ A_{21}& =(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& -5\end{array}\right|=2,& A_{22}& =(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& -5\end{array}\right|=-2,& A_{23}& =(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 2\end{array}\right|=-2,\\ A_{31}& =(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=-1,& A_{32}& =(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=2,& A_{33}& =(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1.\end{array}$$

所以

A⁻1 = (1)/(|A|)A^* = 1/2 -5 & 2 & -1 10 & -2 & 2 7 & -2 & 1 = -5/2 & 1 & -1/2 5 & -1 & 1 7/2 & -1 & 1/2 .$${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}{\mathbf{A}}^{\ast }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-5& 2& -1\\ 10& -2& 2\\ 7& -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{5}{2}& 1& -\frac{1}{2}\\ 5& -1& 1\\ \frac{7}{2}& -1& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$

例 19 矩阵多项式求逆

已知 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 满足 ${\mathbf{A}}^2-2\mathbf{A}-4\mathbf{E}=\mathbf{O}$，试证 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 是可逆矩阵，并求 $(\mathbf{A}+\mathbf{E}{)}^{-1}$。

解

由 ${\mathbf{A}}^2-2\mathbf{A}-4\mathbf{E}=\mathbf{O}$，得

A² + A - 3A - 3E = E,$${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}-3\mathbf{A}-3\mathbf{E}=\mathbf{E},$$

即

(A + E)A - 3(A + E) = E,$$(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{A}-3(\mathbf{A}+\mathbf{E})=\mathbf{E},$$(A + E)(A - 3E) = E.$$(\mathbf{A}+\mathbf{E})(\mathbf{A}-3\mathbf{E})=\mathbf{E}.$$

由定理1 的推论知 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 可逆，且

(A + E)⁻1 = A - 3E.$$(\mathbf{A}+\mathbf{E}{)}^{-1}=\mathbf{A}-3\mathbf{E}.$$

三、可逆矩阵的性质

可逆矩阵的基本运算性质

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为同阶的可逆方阵，常数 $k\ne 0$，则：

1. ${\mathbf{A}}^{-1}$ 为可逆矩阵，且 $({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}$；
2. $k\mathbf{A}$ 为可逆矩阵，且 $(k\mathbf{A}{)}^{-1}=\frac{1}{k}{\mathbf{A}}^{-1}$；
3. $|{\mathbf{A}}^{-1}|=\frac{1}{|\mathbf{A}|}=|\mathbf{A}{|}^{-1}$；
4. ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 为可逆矩阵，且 $({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$；
5. $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 为可逆矩阵，且 $(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$；
6. 可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去，即当 $\mathbf{P}$ 为可逆矩阵时，有

PA = PB iff A = B, AP = BP iff A = B.$$\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}⟺\mathbf{A}=\mathbf{B},\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}\mathbf{P}⟺\mathbf{A}=\mathbf{B}.$$

证明 (4) 和 (5)

对于 (4)：由于 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{E}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}$，所以 $({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$。

对于 (5)：因为 $(\mathbf{A}\mathbf{B})({\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1})=\mathbf{A}(\mathbf{B}{\mathbf{B}}^{-1}){\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{A}(\mathbf{E}){\mathbf{A}}^{-1}=(\mathbf{A}\mathbf{E}){\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{E}$，由定理1 的推论知，$(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$。

性质 (5) 可推广至有限个可逆矩阵的情形：设 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\dots ,{\mathbf{A}}_m$ 是 $m$ 个同阶的可逆矩阵，则 ${\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2\cdots {\mathbf{A}}_m$ 也可逆，且

(A₁A₂…Aₘ)⁻1 = Aₘ⁻1…A₂⁻1A₁⁻1.$$({\mathbf{A}}_1{\mathbf{A}}_2\cdots {\mathbf{A}}_m{)}^{-1}={\mathbf{A}}_m^{-1}\cdots {\mathbf{A}}_2^{-1}{\mathbf{A}}_1^{-1}.$$

可逆矩阵的整数次幂

若 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，可定义

A⁰ = E, A⁻k = (A⁻1)^k,$${\mathbf{A}}^0=\mathbf{E},{\mathbf{A}}^{-k}=({\mathbf{A}}^{-1}{)}^k,$$

其中 $k$ 是任意正整数。这样，可逆矩阵的幂运算可扩充到全体整数，即当 $\mathbf{A}$ 可逆时，对任意的整数 $k,l$，均有

A^kA^l = A^(k+l), (A^k)^l = A^(kl).$${\mathbf{A}}^k{\mathbf{A}}^l={\mathbf{A}}^{k+l},({\mathbf{A}}^k{)}^l={\mathbf{A}}^{kl}.$$

例 20 利用相似关系计算方阵的高次幂

设 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$，$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，$\mathbf{A}$ 满足 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }$。求 ${\mathbf{A}}^n$，其中 $n$ 为正整数且 $n\ge 2$。

解

因为

|P| = 1 & 2 3 & 7 = 1, P^* = 7 & -2 -3 & 1 ,$$|\mathbf{P}|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right|=1,{\mathbf{P}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right),$$

得 ${\mathbf{P}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{P}|}{\mathbf{P}}^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right)$。

由 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }$，得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$，于是

Aⁿ &= (PΛP⁻1)ⁿ = (PΛP⁻1)(PΛP⁻1)…(PΛP⁻1) &= PΛ(P⁻1P)Λ(P⁻1P)Λ…Λ(P⁻1P)ΛP⁻1 &= PΛⁿP⁻1 &= 1 & 2 3 & 7 2ⁿ & 0 0 & 3ⁿ 7 & -2 -3 & 1 &= 7 · 2ⁿ - 2 · 3ⁿ+1 & -2ⁿ+1 + 2 · 3ⁿ 21 · 2ⁿ - 7 · 3ⁿ+1 & -3 · 2ⁿ+1 + 7 · 3ⁿ .$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^n& =(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}{)}^n=(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})\cdots (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})\\ & =\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{\Lambda }({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{\Lambda }\cdots \mathbf{\Lambda }({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{P})\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}\\ & =\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^n{\mathbf{P}}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ -3& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}7\cdot 2^n-2\cdot 3^{n+1}& -2^{n+1}+2\cdot 3^n\\ 21\cdot 2^n-7\cdot 3^{n+1}& -3\cdot 2^{n+1}+7\cdot 3^n\end{array}\right).\end{array}$$

四、矩阵逆在求解线性方程组与矩阵方程中的应用

对于包含 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组

a₁1x₁ + a₁2x₂ + … + a₁nxₙ = b₁, a₂1x₁ + a₂2x₂ + … + a₂nxₙ = b₂, vdots aₙ1x₁ + aₙ2x₂ + … + aₙnxₙ = bₙ. (2.7)$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

若记

A = a₁1 & a₁2 & … & a₁n a₂1 & a₂2 & … & a₂n vdots & vdots & ddots & vdots aₙ1 & aₙ2 & … & aₙn , x = x₁ x₂ vdots xₙ , b = b₁ b₂ vdots bₙ ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right),$$

则 $n$ 元线性方程组 (2.7) 可以用矩阵方程简洁表示为

Ax = b.$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}.$$

若系数矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，上式两边同左乘 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得方程组的唯一解为

x = A⁻1b.$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}.$$

这与用克拉默法则求得的解是完全相同的，因为

x = A⁻1b = (A^*)/(|A|)b = (1)/(|A|) A₁1 & A₂1 & … & Aₙ1 A₁2 & A₂2 & … & Aₙ2 vdots & vdots & ddots & vdots A₁n & A₂n & … & Aₙn b₁ b₂ vdots bₙ = (1)/(|A|) ∑ₖ=1ⁿ Aₖ1bₖ ∑ₖ=1ⁿ Aₖ2bₖ vdots ∑ₖ=1ⁿ Aₖnbₖ = (D₁)/(D) (D₂)/(D) vdots (Dₙ)/(D) ,$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}=\frac{{\mathbf{A}}^{\ast }}{|\mathbf{A}|}\mathbf{b}=\frac{1}{|\mathbf{A}|}\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)=\frac{1}{|\mathbf{A}|}\left(\begin{array}{c}{\sum }_{k=1}^n{A}_{k1}{b}_k\\ {\sum }_{k=1}^n{A}_{k2}{b}_k\\ ⋮\\ {\sum }_{k=1}^n{A}_{kn}{b}_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{D_1}{D}\\ \frac{D_2}{D}\\ ⋮\\ \frac{D_n}{D}\end{array}\right),$$

其中 $D=|\mathbf{A}|,D_i={\sum }_{k=1}^n{A}_{ki}{b}_k$（$i=1,2,\dots ,n$）。

例 21 用逆矩阵求解线性方程组

用逆矩阵求解线性方程组：

x₁ - x₂ - x₃ = 2, 2x₁ - x₂ - 3x₃ = 1, 3x₁ + 2x₂ - 5x₃ = 0.$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2-x_3=2,\\ 2x_1-x_2-3x_3=1,\\ 3x_1+2x_2-5x_3=0.\end{array}$$

解

设

A = 1 & -1 & -1 2 & -1 & -3 3 & 2 & -5 , x = x₁ x₂ x₃ , b = 2 1 0 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& -1& -3\\ 3& 2& -5\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right),$$

则原方程组可表示为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$。计算系数矩阵的行列式：

|A| = 1 & -1 & -1 2 & -1 & -3 3 & 2 & -5 = 3 ≠ 0,$$|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 2& -1& -3\\ 3& 2& -5\end{array}\right|=3\ne 0,$$

所以 $\mathbf{A}$ 可逆，经计算其伴随矩阵求得逆矩阵为

A⁻1 = (11)/(3) & -7/3 & 2/3 1/3 & -2/3 & 1/3 7/3 & -5/3 & 1/3 .$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{11}{3}& -\frac{7}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{7}{3}& -\frac{5}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right).$$

从而方程组的解为

x₁ x₂ x₃ = A⁻1b = (11)/(3) & -7/3 & 2/3 1/3 & -2/3 & 1/3 7/3 & -5/3 & 1/3 2 1 0 = 5 0 3 .$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{11}{3}& -\frac{7}{3}& \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{7}{3}& -\frac{5}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 3\end{array}\right).$$

即 $x_1=5,x_2=0,x_3=3$。

矩阵方程的初等代数解法

若 $\mathbf{A}$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，$\mathbf{B}$ 是任一 $n\times k$ 矩阵，对于矩阵方程

AX = B$$\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{B}$$

两边同左乘以 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得唯一解

X = A⁻1B.$$\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}.$$

同理，若 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵，对于方程 $\mathbf{X}\mathbf{A}=\mathbf{B}$，两边同右乘以 ${\mathbf{A}}^{-1}$，得唯一解 $\mathbf{X}=\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}$。

例 22 解矩阵方程

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$，若矩阵 $\mathbf{X}$ 满足关系式 $\mathbf{A}\mathbf{X}=2\mathbf{X}+\mathbf{A}$，求 $\mathbf{X}$。

解

由 $\mathbf{A}\mathbf{X}=2\mathbf{X}+\mathbf{A}$，移项整理得

(A - 2E)X = A.$$(\mathbf{A}-2\mathbf{E})\mathbf{X}=\mathbf{A}.$$

计算系数矩阵 $\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 的行列式：

|A - 2E| = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 2 = -1 ≠ 0,$$|\mathbf{A}-2\mathbf{E}|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=-1\ne 0,$$

故 $\mathbf{A}-2\mathbf{E}$ 可逆，求其逆矩阵：

(A - 2E)⁻1 = 2 & -1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 .$$(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 2& -2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$

从而有

X = (A - 2E)⁻1A = 2 & -1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 3 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 4 = 5 & -2 & -2 4 & -3 & -2 -2 & 2 & 3 .$$\mathbf{X}=(\mathbf{A}-2\mathbf{E}{)}^{-1}\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 2& -2& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& -2& -2\\ 4& -3& -2\\ -2& 2& 3\end{array}\right).$$

2.3 逆矩阵