1.6 克拉默法则 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

含有 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组的一般形式为

\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1, \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2, \\ \quad \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = b_n. \end{cases} \tag{1.14}

它的系数构成的 $n$ 阶行列式

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

称为方程组 (1.14) 的系数行列式。

与二、三元线性方程组类似，若 $n$ 元线性方程组 (1.14) 的系数行列式 $D \neq 0$ ，它的解也可以用 $n$ 阶行列式来表示。

一、克拉默（Cramer）法则及其证明

定理 1.5 克拉默（Cramer）法则

若 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组 (1.14) 的系数行列式 $D = \det(a_{ij}) \neq 0$ ，则方程组 (1.14) 必有唯一解：

x_j = \frac{D_j}{D} \quad (j = 1, 2, \cdots, n). \tag{1.15}

其中

D_j = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & b_1 & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, j-1} & b_2 & a_{2, j+1} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n, j-1} & b_n & a_{n, j+1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad (j = 1, 2, \cdots, n) \tag{1.16}

是将系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列元素 $a_{1j}, a_{2j}, \cdots, a_{nj}$ 对应地替换为方程组的常数项 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 得到的行列式。

证明

先证必要性（解的唯一表达式）：

若方程组 (1.14) 有解，用系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列元素的代数余子式 $A_{1j}, A_{2j}, \cdots, A_{nj}$ 分别乘式 (1.14) 的 $n$ 个方程的两端：

\begin{cases} a_{11} A_{1j} x_1 + a_{12} A_{1j} x_2 + \cdots + a_{1n} A_{1j} x_n = b_1 A_{1j}, \\ a_{21} A_{2j} x_1 + a_{22} A_{2j} x_2 + \cdots + a_{2n} A_{2j} x_n = b_2 A_{2j}, \\ \quad \vdots \\ a_{n1} A_{nj} x_1 + a_{n2} A_{nj} x_2 + \cdots + a_{nn} A_{nj} x_n = b_n A_{nj}. \end{cases} \tag{1.17}

然后把上面 $n$ 个方程的左、右两边分别相加，按未知量合并同类项，得

\left( \sum_{k=1}^n a_{k1} A_{kj} \right) x_1 + \cdots + \left( \sum_{k=1}^n a_{kj} A_{kj} \right) x_j + \cdots + \left( \sum_{k=1}^n a_{kn} A_{kj} \right) x_n = \sum_{k=1}^n b_k A_{kj}.

由定理1.3 及其推论1.5 可知，上式左端 $x_j$ 的系数等于 $D$ ，而其余 $x_i$ ( $i \neq j$ ) 的系数均为 0。右端正是行列式 $D_j$ 按第 $j$ 列展开的表达式，即等于 $D_j$ 。从而有

D x_j = D_j \quad (j = 1, 2, \cdots, n).

当 $D \neq 0$ 时，方程组 (1.14) 若有解，解必定唯一表示为式 (1.15)。

再证充分性（验证确实是方程组的解）：

将 $x_j = \frac{D_j}{D}$ ( $j = 1, 2, \cdots, n$ ) 代入方程组 (1.14) 的第 $i$ 个方程 ( $i = 1, 2, \cdots, n$ ) 的左端：

a_{i1} \frac{D_1}{D} + a_{i2} \frac{D_2}{D} + \cdots + a_{in} \frac{D_n}{D} = \frac{1}{D} (a_{i1} D_1 + a_{i2} D_2 + \cdots + a_{in} D_n).

将各 $D_j$ 分别按其第 $j$ 列展开， $D_j = \sum_{k=1}^n b_k A_{kj}$ ，代入并按常数项 $b_k$ 重新组合：

= \frac{1}{D} \sum_{k=1}^n b_k \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{kj} \right).

根据展开定理及其推论，当 $k \neq i$ 时内层和为 0；当 $k = i$ 时内层和为 $D$ 。因此上式等于

\frac{1}{D} [0 \cdot b_1 + \cdots + D \cdot b_i + \cdots + 0 \cdot b_n] = \frac{1}{D} (D b_i) = b_i.

即满足方程组中的每一个方程。综上可知，当 $D \neq 0$ 时，方程组有且仅有唯一的解。

应用限制

克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等且系数行列式不等于零的线性方程组。对于方程个数与未知数个数不等，或者系数行列式等于零的情形，将在第 5 章系统研究。

例 22 用克拉默法则解四元线性方程组

解线性方程组

\begin{cases} x_1 + 9x_2 + 4x_3 - 3x_4 = -6, \\ 5x_1 - 5x_2 - 3x_3 + 2x_4 = 10, \\ 12x_1 + 6x_2 - x_3 - x_4 = 12, \\ 9x_1 - 2x_3 + x_4 = 12. \end{cases}

解

系数行列式为

D = \begin{vmatrix} 1 & 9 & 4 & -3 \\ 5 & -5 & -3 & 2 \\ 12 & 6 & -1 & -1 \\ 9 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 36 \neq 0.

从而方程组有唯一解。计算分子行列式：

D_1 = \begin{vmatrix} -6 & 9 & 4 & -3 \\ 10 & -5 & -3 & 2 \\ 12 & 6 & -1 & -1 \\ 12 & 0 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 36, \quad D_2 = \begin{vmatrix} 1 & -6 & 4 & -3 \\ 5 & 10 & -3 & 2 \\ 12 & 12 & -1 & -1 \\ 9 & 12 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0,

D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 9 & -6 & -3 \\ 5 & -5 & 10 & 2 \\ 12 & 6 & 12 & -1 \\ 9 & 0 & 12 & 1 \end{vmatrix} = -36, \quad D_4 = \begin{vmatrix} 1 & 9 & 4 & -6 \\ 5 & -5 & -3 & 10 \\ 12 & 6 & -1 & 12 \\ 9 & 0 & -2 & 12 \end{vmatrix} = 36.

所以方程组的解为

x_1 = \frac{D_1}{D} = 1, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} = 0, \quad x_3 = \frac{D_3}{D} = -1, \quad x_4 = \frac{D_4}{D} = 1.

二、齐次线性方程组与非零解判定

如果 $n$ 元线性方程组 (1.14) 右端的常数项 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 均为零，即

\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = 0, \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = 0, \\ \quad \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n = 0. \end{cases} \tag{1.18}

则称式 (1.18) 为齐次线性方程组。当 $b_1, b_2, \cdots, b_n$ 不全为零时，称方程组 (1.14) 为非齐次线性方程组。

显然，齐次线性方程组总有解 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$ ，我们称其为零解；若有一组不全为零的数是方程组 (1.18) 的解，则称其为非零解。

定理 1.6 齐次方程组零解定理

如果齐次线性方程组 (1.18) 的系数行列式 $D \neq 0$ ，则它只有零解：

x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0.

证明

因为 $D \neq 0$ ，根据克拉默法则，方程组 (1.18) 有唯一解

x_j = \frac{D_j}{D} \quad (j = 1, 2, \cdots, n).

又由于行列式 $D_j$ 的第 $j$ 列的元素全为零，因而 $D_j = 0$ ( $j = 1, 2, \cdots, n$ )。所以齐次线性方程组 (1.18) 仅有零解 $x_j = \frac{0}{D} = 0$ ( $j = 1, 2, \cdots, n$ )。

推论 1.6 存在非零解的必要条件

若齐次线性方程组 (1.18) 有非零解，则它的系数行列式必为零，即 $D = 0$ 。

充要性结论

在第 5 章中我们将进一步证明：当齐次线性方程组的系数行列式等于零时，它必有无穷多个非零解。因此， $n$ 元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是它的系数行列式 $D \neq 0$ ；有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 $D = 0$ 。这是一个非常重要的基本理论结论。

例 23 判断齐次线性方程组是否只有零解

判断线性方程组

\begin{cases} x_1 + 3x_2 - x_3 + 2x_4 = 0, \\ x_1 - 5x_2 + 3x_3 - 4x_4 = 0, \\ 2x_2 + x_3 - x_4 = 0, \\ -5x_1 + x_2 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \end{cases}

是否只有零解？

解

方程组的系数行列式为

D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & -5 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ -5 & 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}.

作行变换 $r_2 - r_1, r_4 + 5r_1$ ：

D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & -8 & 4 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 16 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -8 & 4 & -6 \\ 2 & 1 & -1 \\ 16 & -2 & 7 \end{vmatrix}.

提取第 1 行的 $-2$ 以及第 1 列的 2：

D = -2 \begin{vmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 16 & -2 & 7 \end{vmatrix} = -4 \begin{vmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 8 & -2 & 7 \end{vmatrix}.

对第 1 行和第 3 行消去第 1 列： $r_1 - 2r_2, r_3 - 8r_2$ ：

D = -4 \begin{vmatrix} 0 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & -10 & 15 \end{vmatrix} = -4 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ -10 & 15 \end{vmatrix} = 4 \times (-60 - (-50)) = -40 \neq 0.

因为系数行列式 $D \neq 0$ ，由定理1.6 可知该齐次线性方程组只有零解。

例 24 含参齐次方程组零解判定

当 $k$ 为何值时，齐次线性方程组

\begin{cases} k x_1 + x_4 = 0, \\ x_1 + 2x_2 - x_4 = 0, \\ (k+2)x_1 - x_2 + 4x_4 = 0, \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + k x_4 = 0 \end{cases}

只有零解？

解

计算系数行列式：

D = \begin{vmatrix} k & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ k+2 & -1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & k \end{vmatrix}.

按第 3 列展开（第 3 列仅有元素 3 在第 4 行）：

D = 3 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ k+2 & -1 & 4 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 2k+5 & 0 & 7 \\ k+2 & -1 & 4 \end{vmatrix}.

按第 2 列展开：

D = -3 \cdot (-1) \cdot (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} k & 1 \\ 2k+5 & 7 \end{vmatrix} = -3 [7k - (2k+5)] = -3(5k - 5).

因为方程组只有零解的充要条件是 $D \neq 0$ ，所以

-3(5k - 5) \neq 0 \iff 5k - 5 \neq 0 \iff k \neq 1.

因此，当 $k \neq 1$ 时，此齐次线性方程组只有零解。