1.3 n 阶行列式的概念 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

为了把二、三阶行列式的概念推广到一般的 $n$ 阶行列式，下面先研究三阶行列式的结构。

把三阶行列式写为

D_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \tag{1.8}

= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.

可以看出：

三阶行列式的每一项都是不同行不同列的三个元素的乘积；
每一项的三个元素的行标排成自然排列 $123$ 时，列标都是 $1, 2, 3$ 的某一个全排列，这样的排列共有 $3! = 6$ 种，故三阶行列式共有 6 项；
带正号的三项的列标排列是 $123, 231, 312$ ，经计算可知其逆序数全为偶数（即偶排列）；
带负号的三项的列标排列是 $132, 213, 321$ ，经计算可知其逆序数全为奇数（即奇排列）。

因此，三阶行列式可写为

D_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = \sum_{p_1 p_2 p_3} (-1)^{\tau(p_1 p_2 p_3)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} a_{3 p_3}. \tag{1.9}

其中 $\sum$ 表示对 $1, 2, 3$ 三个数的所有排列 $p_1 p_2 p_3$ 求和。用式 (1.9)，可以把行列式推广到一般情形。

一、 $n$ 阶行列式的定义

定义 1.6 n 阶行列式

将 $n^2$ 个数 $a_{ij}$ ( $i, j = 1, 2, \cdots, n$ ) 排成 $n$ 行 $n$ 列，在其左右两侧加两条竖线，按照下式

D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{p_1 p_2 \cdots p_n} (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n} \tag{1.10}

计算得到的一个数，称为 $n$ 阶行列式，简记作 $D = \det(a_{ij})$ ，其中 $\sum$ 表示对所有 $n$ 元排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 求和。

定义项结构说明

式 (1.10) 右边的每一项 $(-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 中的每一个元素取自 $D$ 中不同的行和列，行标排成自然排列，相应的列标是 $1, 2, \cdots, n$ 的一个全排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 。行列式 $D_n$ 中共有 $n!$ 个乘积项。

定义1.6 也适用于二、三阶行列式，按此定义的行列式与 1.1 节中用对角线法则定义的结果是一致的。对于一阶行列式 $|a_{11}| = a_{11}$ ，注意这里的记号 $|a_{11}|$ 不表示 $a_{11}$ 的绝对值。

特殊类型行列式概念

主对角线以下的元素全为 0 的行列式叫作上三角形行列式；
主对角线以上的元素全为 0 的行列式叫作下三角形行列式；
上三角形行列式与下三角形行列式统称为三角形行列式；
主对角线以外的元素全为 0 的行列式叫作对角形行列式。

例 5 上三角形与下三角形行列式求值

证明上三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积：

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

证明

由于当 $j < i$ 时 $a_{ij} = 0$ ，故 $D$ 中可能不为 0 的元素是 $a_{ip_i}$ ，其下标应满足 $p_i \ge i$ ，即

p_1 \ge 1, p_2 \ge 2, \cdots, p_n \ge n.

在所有排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 中，能满足上述关系的排列只有一个，即自然排列 $1 2 \cdots n$ 。所以 $D$ 中可能不为 0 的项只有一项：

(-1)^{\tau(1 2 \cdots n)} a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

由于 $1 2 \cdots n$ 是偶排列（逆序数为 0），此项的符号为正号，所以

D = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

同理，对于下三角形行列式有

D = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

特别地，对于对角形行列式有

D = \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.

例 6 利用定义证明行列式为零

证明行列式

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ 0 & 0 & 0 & a_{34} & a_{35} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} & a_{45} \\ 0 & 0 & 0 & a_{54} & a_{55} \end{vmatrix} = 0.

证明

由行列式定义可知，它的每一项都是取自不同行和不同列的 5 个元素的乘积。在第 1、2、3 列中，由于第 3、4、5 行的对应元素全为 0，前 3 列的非零元素只能取自第 1 行或第 2 行。

但是前 3 列需要取出 3 个不同行的元素，而第 1 行和第 2 行最多只能提供 2 个不同行的元素，根据抽屉原理，必有至少一个元素取自第 3、4、5 行的 0 元素。因此，展开式中的每一项都含有至少一个 0 因子，从而每一项都等于 0，所以 $D = 0$ 。

二、行列式的等价定义

在定义1.6 中，每一项元素的行标排成自然排列，列标排成排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 。如果先把列标排成自然排列，而行标排成排列 $q_1 q_2 \cdots q_n$ ，乘积各项的符号是否有变化？

考虑任一项 $(-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 。当把列标的排列 $p_1 p_2 \cdots p_n$ 经 $N$ 次对换变成自然排列 $1 2 \cdots n$ 的同时，相应的行标排列 $1 2 \cdots n$ 也经 $N$ 次对换变成了排列 $q_1 q_2 \cdots q_n$ ，这样

a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n} = a_{q_1 1} a_{q_2 2} \cdots a_{q_n n}.

根据定理1.1 的推论，对换次数 $N$ 与 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$ 有相同的奇偶性，而 $\tau(q_1 q_2 \cdots q_n)$ 与 $N$ 也有相同的奇偶性，从而 $\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)$ 与 $\tau(q_1 q_2 \cdots q_n)$ 有相同的奇偶性，即

(-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} = (-1)^{\tau(q_1 q_2 \cdots q_n)}.

定理 1.2 行标排列形式的等价定义

$n$ 阶行列式也可以定义为

D_n = \sum_{p_1 p_2 \cdots p_n} (-1)^{\tau(p_1 p_2 \cdots p_n)} a_{p_1 1} a_{p_2 2} \cdots a_{p_n n}.

其中 $\sum$ 表示对所有 $n$ 元排列求和。

行标与列标的对称性

定理1.2 表明：在行列式的定义中，行标与列标的地位是对称的。凡是关于行成立的性质，关于列也同样成立。

一、nn 阶行列式的定义

二、行列式的等价定义

一、 $n$ 阶行列式的定义